Элементы векторной алгебры Линейная зависимость векторов

 

Определение. Векторы  называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. . Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.   Свойство 1. Если среди векторов  есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.  Градиентный метод

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

  Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

 Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Система координат.  

Дифференциальные уравнения Математика лекции и примеры решения задач Несобственные интегралы

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат.  

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Вектор  назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.  

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат. 1-я ось – ось абсцисс 2-я ось – ось ординат 3-я ось – ось апликат   Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).  

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.  


Аналитическая геометрия Найти уравнение гиперболы

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса . Для эллипса: c2 = a2 – b2. Для гиперболы: c2 = a2 + b2.


  Уравнение гиперболы: . Вычислить криволинейный интеграл Математика Примеры решения задач

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16. Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4; b2 = 16 – 4 = 12. Итого:  - искомое уравнение гиперболы.

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств