Определение.

Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:  det A = , где (1) М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.   Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:   det A =  (2)  Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:  detA = , i = 1,2,…,n. (3) Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1.  Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.   Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову Задача . Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой .

 Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.  

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:   det A = det A^T;   

Свойство 2.   det ( A ± B) = det A ± det B.  

Свойство 3.  det (AB) = detA×detB  

Формула понижения степени Вычислим интеграл

Свойство 4.  Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.  

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.  

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

  Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)  

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.  

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁ ±d₂ , e = e₁ ±e₂ , f = f₁ ±f₂ , то верно:

Показательная форма комплексного числа

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде: Примеры решения и оформления задач контрольной работы Математика Примеры решения задач

 Данное равенство называется уравнением Эйлера.