Интегральные теоремы Коши Теория ОС | Безопасность | Сетевые ОС | TCP/IP | Windows 2000 | Лок. сети | Интернет | Защита | Топология сети | Выч. сети Главная

Корпоративные ИС | Учебник КС | C++ | Архитектура ЭВМ | Local Area Network | Брандмауэры | Паскаль | Базы данных | SQL

Введение в математический анализ Последовательности

  Определение. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

 2)Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

  3)Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

 4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 

  Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная

  {x_n} = n – возрастающая и неограниченная.

Определение двойного интеграла Тройные и двойные интегралы при решении задач

  Пример. Доказать, что последовательность {x_n}= монотонная возрастающая.

 

  Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

 

  Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{x_n} = .

 

  Найдем .  Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает.

 

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

 

  Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 

  Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

 

х₁ £ х₂ £ х₃ £ … £ х_n £ x_n+1 £ …

 

Эта последовательность ограничена сверху: x_n £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x_N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {x_n}- неубывающая последовательность, то при N > n  а - e < x_N £ x_n,

x_n > a - e.

Отсюда a - e < x_n < a + e

-e < x_n – a < e или ôx_n - aô< e, т.е. lim x_n = a.

 

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

 

Введение в математический анализ Основные теоремы о пределах.

  

  Теорема 1. , где С = const.

 

  Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а. Вычислим объем шара Примеры решения и оформления задач контрольной работы

 Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике