Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Соленоидальное векторное поле

Определение. Векторное поле  называется соленоидальным (трубчатым) полем, если дивергенция его равна нулю:

   (2.7)

(то есть это поле без источников и стоков). Из теоремы (1.11) следует, что в соленоидальном поле поток

   (2.8)

через любую замкнутую поверхность, лежащую в этом поле.

 Пример. Какие из нижеследующих полей являются соленоидальными (в естественной области определения):

1) ;

2) ?

 Решение. 1) вычислим критерий (2.7): - - поле вектора  соленоидально; 2)  - поле не соленоидально.

 

Дифференциальные операции второго порядка.

Лапласово (гармоническое) векторное поле

 Дифференциальные операции второго порядка – это повторно примененные операции grad, div и rot к скалярным и векторным полям, полученным в результате применения этих же операций к скалярным   и векторным  полям. Возможны лишь следующие повторные операции: ,
где  -лапласиан; ; ;  .

Операции первого и второго порядков удобно записывать (и вычислять, доказывать) с помощью специального символического оператора  (читается “набла”):

   . (2.9)

Для дифференциальных операций первого порядка имеем

  . (2.10)

Операции второго порядка:

;

;

;

;

.

При применении оператора “набла” руководствуются следующим правилом: при применении оператора  к произведениям скалярных , ) и векторных ,  полей:  можно поступать так: применить оператор  к каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным (их обозначаем ), и результаты сложить; затем каждоеслагаемое преобразовать по правилам векторной алгебра так, чтобы оператор стоял на предпоследнем месте перед переменным множителем.

Пример. Показать, что .

 Решение. В символической форме записи . Учитывая сначала дифференциальный характер , мы должны написать . Рассматривая выражение  мы можем постоянный множитель  вынести за знак “набла” и, как скаляр, за знак скалярного
произведения, что дает   (на последнем шаге мы опустили индекс “c”).

 В выражении  оператор  действует только на скалярную функцию u; поэтому мы можем написать, что . В результате получаем формулу  или .

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета