Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Соленоидальное векторное поле

Определение. Векторное поле  называется соленоидальным (трубчатым) полем, если дивергенция его равна нулю:

   (2.7)

(то есть это поле без источников и стоков). Из теоремы (1.11) следует, что в соленоидальном поле поток

   (2.8)

через любую замкнутую поверхность, лежащую в этом поле.

 Пример. Какие из нижеследующих полей являются соленоидальными (в естественной области определения):

1) ;

2) ?

 Решение. 1) вычислим критерий (2.7): - - поле вектора  соленоидально; 2)  - поле не соленоидально.

 

Дифференциальные операции второго порядка.

Лапласово (гармоническое) векторное поле

 Дифференциальные операции второго порядка – это повторно примененные операции grad, div и rot к скалярным и векторным полям, полученным в результате применения этих же операций к скалярным   и векторным  полям. Возможны лишь следующие повторные операции: ,
где  -лапласиан; ; ;  .

Операции первого и второго порядков удобно записывать (и вычислять, доказывать) с помощью специального символического оператора  (читается “набла”):

   . (2.9)

Для дифференциальных операций первого порядка имеем

  . (2.10)

Операции второго порядка:

;

;

;

;

.

При применении оператора “набла” руководствуются следующим правилом: при применении оператора  к произведениям скалярных , ) и векторных ,  полей:  можно поступать так: применить оператор  к каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным (их обозначаем ), и результаты сложить; затем каждоеслагаемое преобразовать по правилам векторной алгебра так, чтобы оператор стоял на предпоследнем месте перед переменным множителем.

Пример. Показать, что .

 Решение. В символической форме записи . Учитывая сначала дифференциальный характер , мы должны написать . Рассматривая выражение  мы можем постоянный множитель  вынести за знак “набла” и, как скаляр, за знак скалярного
произведения, что дает   (на последнем шаге мы опустили индекс “c”).

 В выражении  оператор  действует только на скалярную функцию u; поэтому мы можем написать, что . В результате получаем формулу  или .

Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета