Задача №5
Вычислить криволинейный интеграл по окружности
, ориентированной по часовой стрелке:
.
Решение
По
формуле Грина, которая в данной задаче применима, т.к. кривая
кусочно-гладкая, а функции
и
– непрерывны вместе с
частными производными
и
в замкнутом круге
:
[1], имеем:
,
знак
«–» перед двойным интегралом объясняется тем, что формула Грина верна при положительной
ориентации границы области
, что в нашей задаче совпадает с ориентацией
окружности
против часовой стрелки,
а по условию надо подсчитать значение интеграла при противоположной ориентации
окружности.

– площадь единичного круга.
Задача
№6
Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы
:
.
Решение
По
формуле, задающей связь между поверхностным интегралами первого и второго рода
[1], имеем:
,
где
– косинус угла между
единичной нормалью к сфере в заданной её точке и осью
. По свойству сферы в нашей задаче
, тогда


,
где
– уравнение
сферы,
– проекция
двух полусфер
и
на плоскость
.
Тогда

.
С
другой стороны можно применить формулу Остроградского-Гаусса:

,
где
– шар радиуса
единица,
– проекция
шара на плоскость
. Последний
интеграл совпадет с рассмотренным выше с точностью до обозначения переменных и,
следовательно, также равен нулю.