Задача №5
Вычислить криволинейный интеграл по окружности
, ориентированной по часовой стрелке:
.
Решение
По
формуле Грина, которая в данной задаче применима, т.к. кривая 
кусочно-гладкая, а функции 
и 
– непрерывны вместе с
частными производными 
и 
в замкнутом круге 
: 
[1], имеем:
,
знак
«–» перед двойным интегралом объясняется тем, что формула Грина верна при положительной
ориентации границы области , что в нашей задаче совпадает с ориентацией
окружности против часовой стрелки,
а по условию надо подсчитать значение интеграла при противоположной ориентации
окружности.
– площадь единичного круга.
Задача
№6
Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы
:
.
Решение
По
формуле, задающей связь между поверхностным интегралами первого и второго рода
[1], имеем:
,
где
– косинус угла между
единичной нормалью к сфере в заданной её точке и осью 
. По свойству сферы в нашей задаче 
, тогда
,
где 
– уравнение
сферы, 
– проекция
двух полусфер 
и 
на плоскость 
.
Тогда
.
С
другой стороны можно применить формулу Остроградского-Гаусса:
,
где 
– шар радиуса
единица, 
– проекция
шара на плоскость 
. Последний
интеграл совпадет с рассмотренным выше с точностью до обозначения переменных и,
следовательно, также равен нулю.