Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Закрытые системы геотермального теплоснабжения Тройные интегралы в цилиндрических координатах

Задача №5

Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:

.

Решение

По формуле Грина, которая в данной задаче применима, т.к. кривая   кусочно-гладкая, а функции   и  – непрерывны вместе с частными производными  и  в замкнутом круге :  [1], имеем:

,

знак «–» перед двойным интегралом объясняется тем, что формула Грина верна при положительной ориентации границы области , что в нашей задаче совпадает с ориентацией окружности  против часовой стрелки, а по условию надо подсчитать значение интеграла при противоположной ориентации окружности.

 – площадь единичного круга.

Задача №6

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы :

.

Решение

По формуле, задающей связь между поверхностным интегралами первого и второго рода [1], имеем:

,

где  – косинус угла между единичной нормалью к сфере в заданной её точке и осью . По свойству сферы в нашей задаче , тогда

,

где  – уравнение сферы,  – проекция двух полусфер  и  на плоскость .

Тогда

.

С другой стороны можно применить формулу Остроградского-Гаусса:

, где  – шар радиуса единица,  – проекция шара на плоскость . Последний интеграл совпадет с рассмотренным выше с точностью до обозначения переменных и, следовательно, также равен нулю.

Машиностроительное черчение выполнение четежей