, ограниченной линиями 
.
Некоторые геометрические и механические приложения двойных интегралов
Как уже говорилось выше, двойных интегралы можно применять к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел. Рассмотрим несколько примеров.
Пример
1. Найти площадь области , ограниченной линиями .
Область представляет собой параболический сегмент, ограниченный
слева дугой параболы 
, справа – отрезком прямой 
Решая совместно уравнения параболы и прямой,
находим ординаты точек их пересечения: y = -2, y = +1. Линейная алгебра и аналитическая
геометрия Найти интервалы выпуклости
и точки перегиба функции Математика примеры решений
Следовательно,
Примечание.
Если бы мы выбирали обратный порядок интегрирования, область
предварительно пришлось бы разбить на две части, так как эта область сверху ограничена
линией, заданной двумя различными уравнениями (дуга параболы и отрезок прямой).
Пример 2. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями y = x2, y = 1, z = 0,
z = x2 + y2.
Так как данное
тело представляет собой цилиндрическое тело с основанием ,
ограниченное сверху параболоидом z = x2 + y2, то имеем:
Пример 3.
Найти объем тела V, вырезаемого из бесконечной призмы
с гранями 
параболоидами 
Объем тела V находим как сумму объемов V1 и V2 его частей, лежащих соответственно над и под плоскостью XOY. При этом
Понятие двойного интеграла можно использовать для определения площадей не только фигур, но и кривых поверхностей.
Будем называть поверхность S,
в каждой точке которой определена касательная плоскость и, следовательно, нормаль,
гладкой, если положение касательной плоскости непрерывно меняется с непрерывным
перемещением по поверхности точки касания. Последнее означает, что для любой точки
М0 поверхности и для любого числа 
существует такая 
- окрестность точки М0,
что для всех точек М поверхности, лежащих в этой окрестности, углы между нормалями
в точках М и М0 меньше, чем 
.
Пусть, например, поверхность
S задана уравнением 
где 
- функция, имеющая
непрерывные частные производные 
и 
в замкнутой квадратируемой области - проекции поверхности S на плоскость XOY. При таких предположениях
поверхность S имеет непрерывно меняющуюся касательную
плоскость и нормаль, т.е. является гладкой. Для определения площади поверхности
поступим следующим образом. Разобьем область на n областей
и обозначим через 
часть поверхности S, проектирующуюся на плоскость XOY в область 
. При этом поверхность S разобьется
на n частей: 
В каждой области возьмем произвольно точку 
восстановив в этой точке перпендикуляр
к плоскости XOY до пересечения с поверхностью S,
получим на поверхности точку 
. Проведем в точке Mi касательную плоскость
к поверхности и рассмотрим ту ее часть 
, которая на плоскость XOY
проектируется в область .
В силу гладкости поверхности вблизи точки Mi касательная плоскость мало отклоняется
от поверхности , поэтому естественно считать площадь части поверхности приближенно равной
площади части касательной
плоскости.
Проводя указанные рассуждения для всех областей деления и суммируя результаты, получим приближенное значение площади поверхности S в виде:
(Здесь обозначает площадь плоской площадки ).
За точное
значение площади поверхности S по определению принимается
число, равное пределу, к которому стремится полученное приближенное значение при
стремлении к нулю шага разбиения 
области :
Покажем, что в наших
предположениях этот предел существует. Обозначим через 
острый угол, составляемый с осью OZ нормалью к поверхности
S, или, что тоже, нормально к плоскости , в точке Мi. Так как область есть проекция , на плоскость XOY, их площади связаны соотношением
Косинус угла находим,
используя уравнение нормали к поверхности 
в точке 
:
Следовательно,
а значит,
Под знаком предела
стоит интегральная сумма по области для функции 
Так как по условию эта функция
непрерывна в замкнутой области , то указанный предел существует и равен двойному интегралу
Таким образом, мы получили формулу для вычисления площади поверхности S:
Примечание.
Если поверхность S задана уравнением вида 
или 
то за плоскость проекции
берется плоскость ZOX или соответственно
YOZ. Соответствующим образом видоизменяются определение
площади поверхности и формула (1).
В более сложных случаях при определении площади поверхности предварительно разбивают ее на части рассмотренного выше вида и площадь поверхности S полагают равной сумме площадей ее частей. Поверхность S, имеющую определенную указанным выше образом площадь, называют квадрируемой.
Формула Грина – Остроградского
Формула Грина – Остроградского устанавливает связь между двойными и криволинейными интегралами (второго рода).
причем
Формула поверхностного интеграла общего вида:
,
где 
, 
, 
- направляющие косинусы нормали к поверхности S
в выбранную (для интеграла слева) сторону поверхности.
Формула Гаусса — Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом (второго рода) по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Формулу Гаусса — Остроградского можно использовать для вычисления поверхностных интегралов по замкнутым поверхностям.
|
||