Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Расчет однотактного каскада усилителя мощности Электротехника. Примеры расчета электрических цепей

Задача №7

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение

Данное уравнение является однородным. Необходимо произвести замену , где  – новая функция. В силу замены . Подставляя в уравнение, получим уравнение относительно неизвестной функции :

 – уравнение с разделяющимися переменными.

.

Подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции  – решения уравнения.

.

Подставляя в выражение для решения имеем:

 

.

Возвращаясь к исходным переменным и учитывая все решения, получим общее решение уравнения:

.

Задача №8

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию :

.

Решение

Запишем уравнение в приведённом виде:

 – уравнение Бернулли.

Замена . Поделим уравнение на  и используем замену:

.

Полученное уравнение линейное уравнение первого порядка. Решим однородное уравнение , . Общее решение найдём методом вариации произвольной постоянной . Полагая,  ищем общее решение в виде , где  неизвестная функция. Подставляя в неоднородное уравнение, получим:

, .

Отсюда общее решение линейного уравнения:

.

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:  – общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное условие, находим , тогда  – решение задачи.

 

 

Машиностроительное черчение выполнение четежей