ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс высшей математики

§1. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Если уравнение можно записать в виде или , то это уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл такого уравнения записывается в виде квадратур:

Задача 1.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения Возрастание и убывание функции

. (1)

Решение. Запишем производную в виде:

и будем использовать эту запись как дробь (эта возможность следует из инвариантной формы первого дифференциала). Если разделить (1) на , то получим следующее

Интегрируя обе части полученного равенства, найдём общий интеграл:

Задачи для самостоятельной подготовки

Решить уравнения с разделяющимися переменными:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) ;

ответить на вопрос:

почему нельзя решать уравнение второго порядка аналогично, а именно:

Поверхностные интегралы второго рода (по координатам)

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

Формула поверхностного интеграла общего вида:

где , , - направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную (для интеграла слева) сторону поверхности.

Формула Гаусса — Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом (второго рода) по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Формулу Гаусса — Остроградского можно использовать для вычисления поверхностных интегралов по замкнутым поверхностям.