,
§8. РАЗНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задачи для самостоятельной подготовки
Решить уравнения:
а) 2y¢ = x + lny¢; д) e-y(1 + y¢) = 1;
б) 2xy¢ - y =Siny¢; е) xy¢ = y(lny + lnx);
в) y¢2 - yy¢ + ex = 0; ж) (x2 + y)dx – xdy = 0;
г) x2y¢2 –2(xy - 2)y¢ + y2 = 0; з) y = y¢(1 + y¢Cosy¢).
§9. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Математика примеры решений Свойства функций непрерывных на отрезках. Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств
1. Если дифференциальное уравнение имеет вид F(y, y¢, y¢¢,… …, y(n)) = 0, т.е. не содержит явно независимой переменной, то порядок уравнения можно понизить с помощью замены у¢ = р. Тогда р = р(у) будет новой искомой функцией, а у – новой независимой переменной. Порядок уравнения при этом понижается на единицу:
,
и т.д.
2. Если дифференциальное уравнение не содержит у и нескольких последовательных производных, то понизить порядок уравнения можно с помощью замены у(k) = u, где u – новая неизвестная функция.
3. Если уравнение однородно относительно у и производных, то постановка у¢ = уz, где z(x) – новая независимая функция, понижает порядок на единицу.
Задача 14.
Решить уравнение yy¢¢ + y¢2 = 0.
Решение.
В уравнении отсутствует х. После замены у¢ = р получим уравнение
ур¢р + р2 = 0 => yp¢ + p =
0. Отсюда 
и, следовательно,
. Возвращаясь к у¢, получим 
или ydy = C1dx.
Общее решение этого уравнения будет иметь вид y2 = C1x + C2.
Замечание. В процессе решения пришлось делить обе части уравнения на р и на у. При этом могло быть потеряно решение, соответствующее р = 0, т.е. у = С и решение у = 0. Этого не произошло только потому, что оба решения содержатся в общем решении: первое при С1 = 0, второе – при С1 = С1 = 0.
[an error occurred while processing this directive]
Задача 15.
Решить уравнение y¢¢2 = y¢ + 1.
Решение. В данном уравнении отсутствует у. Обозначим
z = y¢, тогда для функции z(x) получим уравнение z¢ = z + 1 с разделяющимися переменными
Отсюда получим
Решение имеет вид y(x) = (C1 + x)3/12 – x + C2.
Задачи для самостоятельной подготовки
Решить уравнения:
а) y¢¢¢y¢2 – y¢¢ = 0; г) xy¢¢ = y¢;
б)
yy¢¢ – 2yy¢lny = y¢2; д);
;
в) y¢¢¢ = y¢¢2; е) yy¢¢ = y¢ + y¢2.
Формула поверхностного интеграла общего вида:
,
где 
, 
, 
- направляющие косинусы нормали к поверхности S
в выбранную (для интеграла слева) сторону поверхности.
Формула Гаусса — Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом (второго рода) по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Формулу Гаусса — Остроградского можно использовать для вычисления поверхностных интегралов по замкнутым поверхностям.
|
||