Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

Метод вариации произвольных постоянных

В пункте А был изложен метод построения  для специального вида . Метод вариации произвольных постоянных применим для функции  любого вида.

Итак, рассмотрим уравнение (1): , где – любая функция (непрерывная).

Пусть нам известно общее решение однородного уравнения (2)

 (7)

где – произвольные постоянные, а  и – частные решения уравнения (2).

Будем искать частное решение уравнения (1) в виде , (8)

т.е. в таком же виде, как общее решение (7), но только вместо произвольных постоянных подставим пока неизвестные функции. Найдем их. Поскольку  должно быть решением уравнения (1), то функции   и связаны только одной зависимостью. Для того чтобы их найти, этого недостаточно. Поэтому мы вправе наложить на них еще одно условие по произволу.

Найдем производную  (9)

Потребуем, чтобы  имело бы такой же вид, как если бы  и  были бы постоянными. Отсюда следует, что должно быть

. (10)

Тогда . (11)

Найдем  (12)

Подставляя и  определенные формулами (9), (11) и (12), в уравнение (1), тогда получим:

или .

Но  и суть решения однородного уравнения (2), поэтому имеем

 (13)

Таким образом,  и  определяются из (10) и (13), т.е. из системы уравнений

 (14)

Эта неоднородная система линейных алгебраических уравнений относительно  и  с определителем .

Это определитель Вронского, по доказанному ранее , поэтому система (14) имеет единственное решение. Определение из (14)  и  интегрируя их, найдем  и , а затем и .

Замечание. Если при интегрировании  и  ввести произвольные постоянные, то сразу получим общий интеграл неоднородного уравнения (1).

Пример.

Соответствующее однородное

Характеристическое уравнение .

Общее решение однородного уравнения

 

Частное решение заданного уравнения ищем в виде , где  и  определяются из системы:

Отсюда

Общее решение будет

или .

Машиностроительное черчение выполнение четежей