Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Кинематический способ образования поверхностей

 

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

, (1)

где  и  – заданные постоянные коэффициенты.

Нам уже известно, что общее решение такого уравнения складывается из общего решения , соответствующего однородного уравнения

 (2)

и какого-нибудь частного решения  уравнения (1), т.е. . (3)

Как строить общее решение  однородного уравнения (2), мы рассмотрим в предыдущем параграфе. Поэтому теперь вопрос об общем решении уравнения (1) сведен лишь к вопросу о построении хотя бы какого-нибудь частного решения  уравнения (1). Вообще говоря,  можно, например, угадать. Но такой способ определения   очень ненадежен. Мы укажем сейчас точные способы, которые всегда приводят к цели.

А. Правая часть уравнения (1) имеет специальный вид

Рассмотрим функцию: , (4)

где  – полиномы, а числа m и n – вещественные любые.

По виду этой функции составим «контрольное число» .

Пусть корни характеристического уравнения будут  и .

Определим число k следующим образом:

, если контрольное число не совпадает ни с одним из корней ;

, если  совпадает с одним из корней ;

, если .

Правило. Если правая часть уравнения (1) имеет вид:

 (5),

то частное решение следует искать в форме

 (6),

где и  – полиномы степени, равной наивысшей из степеней полиномов и .

Схема нахождения :

зная вид , записывают  в форме (3), причем полиномы и  и  записываются с неопределенными коэффициентами;

подставляют  в уравнение (1) вместо y, и приравнивают коэффициенты при одинаковых функциях справа и слева. Получают систему уравнений для коэффициентов многочленов . Решая эту систему, находят неизвестные коэффициенты.

Найденные коэффициенты подставляют в формулу (3) и находят .

Замечания:

1. Если функция имеет вид:  или
, то частное решение   все равно ищется в виде (6) .

2. Если , то . В этом случае частное решение ищется в форме: . При этом степень  равна степени и .

3. Если , то , а  имеет вид .

Пример.

Здесь:

Характеристическое уравнение . Следовательно, .

Поэтому  следует искать в виде:

Отсюда Подставляя в уравнение и , находим:

Отсюда  или

.

Следовательно, .

Машиностроительное черчение выполнение четежей