Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Развитие ядерной индустрии в Китае Векторная алгебра и аналитическая геометрия

 

Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами  (1)

и соответствующее ему однородное , (2)

где  и  – постоянные коэффициенты.

Найдем общее решение уравнения (2).

Будем искать решение уравнения (2) в форме .

Тогда .

Подставляя это в уравнение (2), получим: .

Но так как , то (3)

Это уравнение по отношению к уравнению (2), называется характеристическим.

Если функция  есть решение уравнения (2), то  должно быть корнем характеристического уравнения (3).

Рассмотрим три возможные случая:

корни уравнения (3) вещественны и различны

корни вещественны и равны

корни комплексные сопряженные

1 случай.  и действительны.

В этом случае функции  и  будут решениями уравнения (2). Так как их отношение , то эти решения линейно независимы и, следовательно, они составляют фундаментальную систему. А поэтому общее решение уравнения (2) в этом случае будет

 (4)

Пример.

Характеристическое уравнение будет .

Его корни . Общее решение будет .

2 случай. Корни равны .

В этом случае имеем пока только одно решение . Покажем, что вторым решением будет . Действительно,

Подставим это в левую часть уравнения (2), тогда получим

,

так как  есть корень уравнения (3), и потому, что . А это значит, что  есть решение (2), что и требовалось доказать.

Итак, мы имеем два решения  и . Они линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Поэтому общий интеграл будет .

Пример.

Характеристическое уравнение . Корни .

Общее решение .

3 случай. Корни комплексные сопряженные

Следовательно, имеем два комплексных линейно независимых решения .

Общее решение будет .

Ясно, что иметь вещественное общее решение надо считать  и  комплексными числами. Выразим  и  по формулам Эйлера, тогда

Положим здесь . Тогда .

Поэтому .

Таким образом, в случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения, уравнение (2) имеет два линейно независимых вещественных решения .

Общее решение .

Пример.

 

Общее решение .

Машиностроительное черчение выполнение четежей