Функции Курс лекций математического анализа

Функции

Пусть X, Y – некоторые множества функцией или отображением f множества X в Y называется всякое правило (закон), которое каждому элементу ставит в соответствие определенный y принадлежащий Y. При этом пишут читается функция f из X в Y или y=f(x), где , . Множество X называют областью определения или областью существования функции f. Множество - областью значения функции f. Произвольный элемент называется независимой переменной или аргументом функции f(x), соответствующее ему по правилу, f элемент называется зависимой переменной или значением функции f на элементе x, или образом элемента x. Другие записи: y=y(x); y=g(x); y=A(x); y=Y(x); S=pR² (площадь круга, как функция его радиуса) x=x(t) (положение точки на числовой оси функции времени). Если множество Y – числовое множество, то функция называется числовой. Если , то функция называется вещественной функцией вещественного аргумента. Функция называется постоянной (функцией на X) если все ее значения равны между собой. Определение: Функция называется ограниченной на множестве X, если . На плоскости функция изображается в виде графика – множество точек (x;y), прямоугольные декартовые координаты которые связаны соотношением y=f(x), называется уравнением графика. Существуют 3 основных способа задания функции:1) аналитический (с помощью 1 или нескольких формул)2) табличных (с комбинацией табличных значений аргумента и соответствующих значений функции)3) графический (с помощью графика функции)4) словесный Функция Дирихлеа: Рассмотрим функции и функцию . Функция , определяемая соотношением z=g(f(x)) называют сложной функцией или композицией функции f и g (h=gf), тогда z=h(x). Пример: X=Y=Z=R. F(x)=sinx; g(x)=x², имеем отсюда видно, что (не коммутативна). Сложную функцию иногда удобно записать в виде цепочки переменных ; переменная y называется промежуточной переменной сложной функции. Будем говорить, что функция f(x) не убывающая (соответственно не возрастающая) на множестве X, если: соответственно для не возрастающих Если для resp - функция возрастающей (resp убывающей). Две последние функции – строго-монотонные, предыдущие – монотонные. Рассмотрим функцию причем каждый элемент из Y является образом хотя бы одного элемента из X (тогда говорят, что f есть функция (отображение) из X на Y и пишут: f(X)=Y) (1) , (2) т.е. разные элементы из X имеют разные образы в Y. Из условия (1) и (2) следует, что каждый элемент является образом в точности одного элемента , именно того, для которого , тем самым на множестве Y определена функция: , которая называется обратной для функции f. Каждая из функций устанавливает взаимооднозначное соответствие между элементами из Y и X. Очевидные соотношения: Функции f - взаимообратные. Инвариантность формы дифференциала Пример:

Пусть и

Функция удовлетворяет условию (1) и (2), т.к. всякое вещественное есть куб некоторого вещественного числа и разные вещественные числа имеют разные кубы. Поэтому функция имеет

, т.е. Очевидно функция и обратная функция имеют один и тот же график. Только для обратной функции ось Оy является осью аргумента, а ось Ox – осью функций. Если поменять местами x и y, т.е. повернуть плоскость на 180° вокруг биссектрисы I и III координатных углов, то новое положение графика обратной функции будет графиком функции , которое так же называется обратной. С учетом этого можно сказать, что график вз. Обратной функции симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Отметим, что строго монотонные функции всегда обратимы. Теорема. Если функция определена и строго монотонна на некотором промежутке X, то на соответствующем промежутке Y обратная функция существует и строго-монотонная (в том же смысле).

Действительно строго-монотонные функции удовлетворяют условиям (1) и (2) существуют обратные функции. Покажем, что , так же строго монотонна, причем в том же смысле, что и прямая функция . Пусть для определенности функция возрастает на X. Рассмотрим произвольные такие, что , но тогда , т.к. в противном случае и было бы: , т.е. , что противоречит выбору чисел , таким образом , т.е. обр. функция возрастает на Аналогично рассматривается случай убывания. Доказанная теорема может быть сформулированная следующим образом: Если - строго монотонна на X, то уравнение имеет единственное решение Функция называется четной (resp нечетной) на множестве X, если: 1) X является множеством симметричным относительно начала координат на числовой оси; 2) (resp ) Ясно, что график функции симметричен относительно оси Oy, (resp – относительно начала координат). Функция, которая не является ни четной, ни не четной называется функцией общего вида. Примечание: функцией общего вида будет любая функция, область определения которой не симметрична относительно оси координат. Задача 1. Если же область определения любой функции общего вида симметрична относительно начала координат, то это функция представлена и притом единственным образом в виде суммы четной и нечетной функции. Функция называется периодической на множестве X, если : 1) точка , ; 2) Число T называется периодом функции . Из этого определения вытекает, что всякое число кратное периоду, также является периодом функции.6. Из этого определения вытекает, что всякое число кратное периоду, также является периодом функции. и т.д. Итак, у бесконечной функции есть много периодов; если у нее есть самый малый положительный период, то – это основный период. Например: у - T = p Однако не всякая периодичная функция обладает основным периодом. Например, f(x)=c=const – периодическая, причем ее периодом является любое вещественное число, т.к. не существует наименьшего положительного вещественного числа, то эта функция не имеет основного перирда. Задача 2. Доказать, что функция Дирихле периодическая, причем, ее периодом является любое рациональное число, основного периода функция не имеет. D(x)= Последовательностью вещественных чисел называется любая функция ее значения (1) называется членами последовательности, член называется n-ым или общим членом последовательности. Последовательность записывают в виде (1), или в виде {a_n}.