Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Частные случаи уравнений II порядка

Рассмотрим частные случаи уравнений II порядка, допускающих «понижение» порядка, т.е. случаи, когда уравнение II порядка приводится к интегрированию двух уравнений первого порядка.

Правая часть не содержит  и

 (1)

Положим . Тогда   и .

Получили уравнение первого порядка.

Отсюда  или .

Имеем опять уравнение первого порядка  или

Получили общее решение уравнения (1).

Правая часть уравнения не содержит

 (2)

Положим , тогда для z имеем уравнение .

Пусть его решение будет . Следовательно, .

Отсюда .

Это общее решение уравнения (2).

Пример. .

Положим , тогда   и его решение .

Следовательно,  и  

или  – общее решение уравнения (2)

Правая часть не содержит х

 (3)

Положим  и будем считать z функцией y.

Тогда . Итак, .

Подставляя это в уравнение (3), получим: , т.е. уравнение первого порядка относительно z. Решив его, будем иметь  или .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Отсюда .

 Это общий интеграл уравнения (3).

Пример. .

Положим , тогда   или . Отсюда  

или  или   - общее решение.

Решение контрольной работы по математике, физике , инженерной графике