Содержание
Числовые
ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов.
Пусть
- последовательность чисел. Рассмотрим величины 
(1).
Определение.
Если существует 
, то говорят, что сходится бесконечный ряд
(другое обозначение 
)
(2) и его сумма равна 
.
Если
же 
не существует, либо бесконечен, то говорят, что ряд (2) расходится. Величины 
называются частичными суммами ряда. Можно
кратко переформулировать данное выше определение: Ряд сходится Û существует предел его частичных сумм.
Доказать,
что
.
Пример. Вычислить
. Частные производные ФНП,
заданной неявно Примеры
решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Рассмотрим
задачу о непрерывном начислении
процентов.
Пусть темп
инфляции составляет 1 % на день. На сколько уменьшится начальная сумма через
полгода. Пользуясь определением предела
числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n
имеет предел, равный 1.
Пример.
xn = 
. Найти 
xn. Доказать, что
sin x не существует. Найти
1) 
; 2) 
; 3) .
Построение
графика функции Теоретическая механика Сопротивление материалов. Математика,
физика
Пример.
(геометрическая прогрессия). Из элементарной
алгебры: 
.
Если 
, то 
при 
и 
, т.е. ряд
сходится. Если 
, то 
при и ряд расходится. Если 
,
то ряд имеет вид 
. 
и 
. Если 
,
то 
. Такая последовательность не имеет предела,
так как у нее есть два различных предела (
и 0), а значит общий предел не существует.
Определение.
С бесконечным рядом (2) связаны ряды вида 
, называемые остатками
ряда 
.
Утверждение.
Ряд (2) сходится Û 
остаток - сходится.
Доказательство.
сходится Þ сходится 
. Но - это и есть исходный ряд.
. Ряд сходится Þ существует 
.
Но 
частичная сумма 
ряда имеет вид 
. Величина 
не зависит от 
. Кроме того, 
при . Поэтому существует 
. Утверждение доказано.
Итак,
исследование сходимости ряда и исследование сходимости любого его остатка – эквивалентные
задачи. Это означает, что при изучении сходимости достаточно рассматривать лишь
члены ряда, начиная с некоторого номера. Это не влияет на сходимость. Изменится
лишь сумма ряда.
Теорема.
(1).
Примечание.
Поскольку 
(2), неравенство (1)
можно заменить на неравенство 
.
Следствие.
(Необходимый признак сходимости ряда).
. Действительно, при 
получаем неравенство 
,
выполняющееся 
. Это значит, что 
.
Согласно этому следствию, мы получаем новое доказательство того, что ряд 
расходится при 
.
Важный
пример, показывающий, что необходимый признак сходимости отнюдь не является достаточным.
Ряды
с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса.
Интегральный
признак сходимости. Сходимость ряда 
.
Абсолютная
сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Условная
сходимость. Теорема Лейбница.
Равномерная
сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак Вейерштрасса.
Непрерывность
суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование
и дифференцирование ряда.
Степенные
ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование.
Разложение
элементарных функций в степенные ряды.
Художественно-исторический
музей
Ортонормированные
системы функций. Обобщенные ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье. Теорема
сходимости.
Дифференциальные
уравнения 1-го порядка. Уравнение 
.
Теорема
существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися
переменными, однородные уравнения. Уравнения вида 
.
Сетевые
операционные системы
Линейное
дифференциальное уравнение 1-го порядка.
Дифференциальное
уравнение n-ного
порядка. Задача Коши для уравнения 
. Понижение порядка дифференциального уравнения.
Линейное
дифференциальное уравнение n-ного
порядка. Свойства линейного однородного дифференциального уравнения.
Линейная
зависимость функций. Определитель Вронского.
Фундаментальная
система решений линейного однородного уравнения.
Линейное
неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции.
Метод
вариации постоянных.
Линейное
однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое
уравнение. Общее решение.
Метод
неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.