Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Решение примерного варианта

Задача №1

Вычислить двойной интеграл  от функции  по заданной области :

, .

Решение

Вид области  представлен на рисунке 4.

Рисунок 4

Представим двойной интеграл через повторный:

.

Первый интеграл  возьмём по частям:

.

.

Откуда .

Задача №2

Вычислить объём тела  с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

.

Решение

По определению тройного интеграла объём  области  вычисляется по формуле:

.

Область  представляет из себя конус, проекция которого на плоскость  является кругом :  (см. рисунок 5).

Рисунок 5

Тогда

.

Первый из интегралов  равен по определению удвоенной площади круга , т.е. . Для вычисления второго интеграла перейдём к полярным координатам, связанными с декартовыми координатами формулами:

.

По формуле замены переменных в двойном интеграле [1]:

,

где  – якобиан замены,  – прообраз области  в координатах , т.к. область , то . Откуда

.

Окончательно: .

Машиностроительное черчение выполнение четежей