Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Второй тепловой контур http://impresi.ru/ Особенности нанесения размеров http://krmatem.ru/

Решение примерного варианта

Задача №1

Вычислить двойной интеграл  от функции  по заданной области :

, .

Решение

Вид области  представлен на рисунке 4.

Рисунок 4

Представим двойной интеграл через повторный:

.

Первый интеграл  возьмём по частям:

.

.

Откуда .

Задача №2

Вычислить объём тела  с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

.

Решение

По определению тройного интеграла объём  области  вычисляется по формуле:

.

Область  представляет из себя конус, проекция которого на плоскость  является кругом :  (см. рисунок 5).

Рисунок 5

Тогда

.

Первый из интегралов  равен по определению удвоенной площади круга , т.е. . Для вычисления второго интеграла перейдём к полярным координатам, связанными с декартовыми координатами формулами:

.

По формуле замены переменных в двойном интеграле [1]:

,

где  – якобиан замены,  – прообраз области  в координатах , т.к. область , то . Откуда

.

Окончательно: .

Машиностроительное черчение выполнение четежей