§1 Введение
Процесс изучения курса высшей математики предполагает знание обучаемым курса элементарной математики. Однако некоторые темы элементарной математики, которые часто используются в курсе высшей математики, в школьном курсе математики либо совсем не рассматриваются, либо рассматриваются в недостаточной мере.
Данный параграф призван устранить этот пробел в знаниях студентов-первокурсников. Рассмотрим эти темы. Интегралы Связь сферических и декартовых координат примеры решений задач типового расчета по математике
1.1.Комбинаторика.
1.Число перестановок из n элементов равно произведению n последовательных натуральных чисел от 1 до n. Число перестановок обозначается так:
или n! (эн-факториал)
и вычисляется по формуле:
n!=
(1.1)
Пример 1.1. Вычислить
a) 5!=
;
б)
или 
;
в)
;
г)
Пример 1.2. Сколько пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить из цифр 1,2,3,4,5?
Решение. Очевидно, это есть число перестановок из пяти элементов, то есть 5!=120.
2. Число размещений (без повторений) из n элементов по к
равно произведению к последовательных
натуральных чисел, наибольшее из которых равно n:
, (1.2)
или 
. (1.3)
Пример 1.3. Вычислить:
а) 
б)
в) 
г) 
д) 
Пример 1.4. С помощью формулы (1.2) решается следующая задача. Каково число всех четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами?
Решение.
Всего цифр 10. Число подборов четырех различных цифр равно
. Однако сюда входят и те наборы, которые
начинаются с нуля. Число таких наборов равно 
.
Искомое
число четырехзначных чисел равно: 
3.Число сочетаний из n элементов по к (
) определяется по формуле:
(1.4)
или
(1.5)
Из формулы (1.5) следует
(1.6)
Пример 1.5. Вычислить:
a)
б)
в)
г)
Отметим,
что принято считать 
Пример 1.6. Сколькими способами собрание из 20 студентов может выбрать трех студентов на научную конференцию?
Решение. Так как статус каждого из трех выбранных студентов один и тот же, то число всех способов равно числу сочетаний из 20 элементов по 3, то есть
Следует отметить, если собрание должно было бы выбрать председателя, заместителя председателя и секретаря собрания, то число способов выбора равнялось бы числу размещений из 20 по 3, то есть
4.Размещения с повторениями.
Пусть из множества Х, состоящего из n элементов, надо составить строку из к элементов, причем каждый элемент в строке может быть любым элементом из х, то есть в строке элементы могут повторяться.
Общее число всех таких строк есть число размещений
из n по k с повторениями
А( n, k ) = nk (1.7)
В рассмотренном случае каждый
элемент строки может принимать n значений. Если в строке 
элемент 
может принимать 
значений, элемент 
может принимать 
значений, то количество всех
таких строк определяют по формуле:
(1.8)
Пример 1.7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,
2 , 3 ,4 , 5 , 6 , 7?
Решение. Каждая цифра искомого трехзначного числа может принимать 7 значений. Поэтому по формуле (1.7) получим:
Пример 1.8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ?
Решение. Первая цифра трехзначного числа не может быть нулем и, следовательно, принимает 6 значений. Остальные цифры могут принимать все 7 значений. По формуле (1.8) имеем:
5. Размещения данного состава
Размещением данного состава 
из элементов
множества 
называется всякая строка длиной 
, составленная из элементов
множества X так, что элемент повторяется 
раз, элемент 
повторяется 
раз , ..., элемент 
повторяется 
раз .
Например, если 
то 
есть
один из вариантов состава 
Число различных размещений состава определяется по формуле:
(1.9)
Пример 1.9. 
Сколькими способами можно расставить на книжной
полке 3 экземпляра учебника по алгебре , 2 экземпляра учебника по геометрии, один
учебник по физике?
Решение. Всякой расстановке учебников соответствует строка длинной 6 состава ( 3, 2 , 1 ). Применяя формулу (9) , получим:
A
Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций.
Несмотря
на наглядность, механический способ построения графика функции имеет серьезный
недостаток – требует построения большого количества графиков. Если же сначала
провести краткое аналитическое исследование данной функции, то это позволит сразу
построить ее график. Некоторые элементарные функции имеют асимптоты. Напомним,
что асимптота – прямая, к которой приближается уходящая в бесконечность ветвь
графика функции. Если при 
( или 
), то
- вертикальная асимптота.
Если
при 
(или )
, то 
- горизонтальная асимптота. Так функция 
имеет вертикальную асимптоту
, так как при 
. Функция 
имеет горизонтальную асимптоту
, так как при 
и
. Функция 
имеет вертикальную асимптоту
и горизонтальную
асимптоту 
. Построим графики некоторых функций, используя
свойства элементарных функций.
|
||