3.4. Некоторые функции, примыкающие к элементарным.
Пример
3.12. Сигнум (знак) 
(рис.22)
у
1
Рис.22
Пример
3.13. Целая часть числа (антье): 
. Это наибольшее целое число, не большее
данного (рис.23). Отметим, что
, так как 2,34 = 2 + 0,34,
, так как –2,34 = - 3 + 0,66.
 |
Пример
3.14. Дробная часть числа 
(рис.24). Напомним, что дробная часть числа есть
неотрицательное число, меньшее единицы:
, 
, 
.
 |
Дробная часть
– периодическая функция с периодом Т = 1. Очевидно,
что 
. Пример
3.15. Построить график функции 
.
Решение.
Сначала определим интервалы знакопостоянства многочлена 
. Нули многочлена: 0, 
.
-2 0 2 Данную функцию
можно аналитически представить так: Пример 3.16. Построить график функции В
интервале
Решение. Так как в интервалах
Отсюда
Для
рассматриваемого интервала получим: Данную
функцию можно аналитически представить так:
-- + -- + 
.
График представлен на рис.25.
. Решение. Отметим несколько значений
x, в которых данный логарифм принимает целое значение:
, в интервале 
y = -2, в интервале 
y = -1, в интервале 
y = 0, в интервале 
y = 1,
в интервале 
y = 2 и
т. д. (рис.26)
Пример 3.17. Построить график функции 
. 
и 
, то в этих интервалах 
. Так как 
, то в этих точках 
. В интервалах 
и, следовательно, 
, т.е. в этих интервалах график
функции 
надо поднять
вверх на 1 единицу (рис.27).
Пример 3.18. Построить график функции 
. Решение. По определению 
и, следовательно, 
, т.е. область изменения функции
. Функция периодическая
с периодом 
и поэтому рассмотрим данную функцию на интервале
длиной 
.
Имеем: 
.
и 
.
, если 
и 
, если 
.
где 
график представлен на рис.28.
Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций.
Несмотря
на наглядность, механический способ построения графика функции имеет серьезный
недостаток – требует построения большого количества графиков. Если же сначала
провести краткое аналитическое исследование данной функции, то это позволит сразу
построить ее график. Некоторые элементарные функции имеют асимптоты. Напомним,
что асимптота – прямая, к которой приближается уходящая в бесконечность ветвь
графика функции. Если при 
( или 
), то
- вертикальная асимптота.
Если
при 
(или )
, то 
- горизонтальная асимптота. Так функция 
имеет вертикальную асимптоту
, так как при 
. Функция 
имеет горизонтальную асимптоту
, так как при 
и
. Функция 
имеет вертикальную асимптоту
и горизонтальную
асимптоту 
. Построим графики некоторых функций, используя
свойства элементарных функций.
|
||