Производная функции, ее геометрический и физический смысл Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.Логарифмическое дифференцирование Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле Задача. Дано векторное поле и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:
найти поток поля
через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат; используя формул
у Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля
Производная показательно - степенной функцииМетод интегрирования подстановкой (заменой переменной). Пример. Найти
. Найти
.
Метод интегрирования по частям Пример. Найти
. Найти
.
Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл. Пример. Найти
Найти
.
Иногда при нахождении неопределенного интеграла приходится применять различные методы интегрирования. Пример. Найти
.
Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.
Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.Теоремы о среднемРаскрытие неопределенностей
Пример: Найти предел.
Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.
2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Векторная функция скалярного аргумента
Свойства производной векторной функции скалярного аргумента
Параметрическое задание функции
Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме
Производная функции, заданной параметрически
Кривизна пространственной кривой
- Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
и построить ее
- Пример: Исследовать функцию
и построить ее график.график.
- Пример: Исследовать функцию
и построить ее график.
Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:F¢(x) = f(x).Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx..
Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m, n, и p – рациональные числа.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
. В (3, 0).
Кратные интегралы Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.
Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.
, если область интегрирования