Рассмотрим
функцию u(x, y, z) в
точке М( x, y, z) и
точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).
Проведем через точки М и М1 вектор 
. Углы
наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы
этих углов называются направляющими косинусами вектора .
Расстояние между точками М и М1 на векторе обозначим DS.
Высказанные выше предположения, проиллюстрируем
на рисунке:
Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у
и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:
[an error occurred while processing this directive]
,
где
величины e1,
e2,
e3
– бесконечно малые при 
.
Из геометрических соображений очевидно:
Таким образом, приведенные выше равенства могут
быть представлены следующим образом:
;
Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь
определяет направление вектора .
Из этого уравнения следует следующее определение:
[an error occurred while processing this directive]
Определение: Предел 
называется производной функции u(x, y, z) по
направлению вектора в точке с координатами ( x, y, z).
Поясним значение
изложенных выше равенств на примере.
;
