Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Способы задания геометрических фигур геометрия

Задача №5

Найти производные следующих функций

а) ; б) .

Решение

а) , это тождественное равенство в области определении функции . Поэтому, дифференцируя обе части равенства, с учётом, что  – функция переменной  имеем

; .

б) 

.

Задача №6

Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики

а) ; б) .

Решение

а) , , .

1. Область определения функции .

2. . При этом знак производной в левой окрестности точки  положительный, а в окрестности правой  – отрицательный. Следовательно,  – точка локального максимума и . В точке  экстремума нет.

Промежуток возрастания: , т.к. .

Промежуток убывания: , т.к. .

3. . При этом  при  и , если . Следовательно,  – точка перегиба графика функции. На промежутке  – функция выпукла вверх.

На промежутке  – функция выпукла вниз.

4. Асимптоты

 – вертикальная асимптота.

,

,

 – наклонная асимптота при . График функции изображен на рисунке 1.

Рисунок 1

б) .

1. Область определения .

2. , ,

. В точке    не существует, точка  – локальный максимум; точка  – локальный минимум.

Промежуток возрастания: , т.к. .

Промежуток убывания: , т.к. .

Рисунок 2

3. , , если  и , если .

Точка  – точка перегиба с вертикальной касательной к графику функции в этой точке.

На промежутке  – функция выпукла вниз, на промежутке  – функция выпукла вверх.

4. ,

.

 – наклонная асимптота. График функции изображен на рисунке 2.

[an error occurred while processing this directive]