Математика курс лекций математического анализа

Магнитные цепи http://fislub.ru/ Трансформаторы Реакторы на быстрых нейтронах http://kesalahti.ru/

 

Частные случаи векторных полей. Операции второго порядка

Потенциальное векторное поле

 Определение. Векторное поле   называется потенциальным полем, если существует некоторая скалярная функция , градиент которой образует это поле:

 .  (2.1)

Функция u называется потенциалом векторного поля .

 Теорема. Для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым:

 . (2.2)

Формула (2.2) есть критерий потенциальности векторного поля .

 Свойства потенциальных полей.

1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала

  (2.3)

2) циркуляция (1.9) вектора  по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю:

 .  (2.4)

3) потенциал  находится по формуле (2.3):

 , (2.5)

где (AM) – произвольная кривая, стягивающая точки A и M. Если путь (AM) взять в виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат (количество таких ломаных равно шести), то для нахождения потенциала может быть применена одна из формул, выражающая потенциал   через определенные интегралы ; ):

 . (2.6)

 Пример. Проверить, что поле вектора   является потенциальным и найти его потенциал.

 Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2):

- поле потенциально. Найдем потенциал  по формуле (2.6): за начальную точку удобно взять точку A(0,0,0):  .

Машиностроительное черчение выполнение четежей