"x¢,x¢¢ÎÇX:|f(x¢) - f(x¢¢)|<eПредел функции
Критерий Коши существования предела функции
Пусть X область определения функции f содержит проколотую окрестность точки a .
Условие Коши для f(x) в окрестности a:
"e>0$ "x¢,x¢¢ÎÇX:|f(x¢) - f(x¢¢)|<e
Сформулируем условие Коши для других случаев
Односторонние пределы:
Предел справа "e>0$d>0"x¢,x¢¢Î(a,a+d)ÇX:|f(x¢)-f(x¢¢)|<e
Предел слева "e>0$d>0"x¢,x¢¢Î( a-d, a)ÇX:|f(x¢)-f(x¢¢)|<e Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.
Условие Коши для +¥: f определена в окрестности +¥
"e>0$b"x¢,x¢¢Î(b,+¥)ÇX:|f(x¢) - f(x¢¢)|<e.
Условие Коши для -¥: f определена в окрестности -¥
"e>0$a"x¢,x¢¢Î(-¥,a)ÇX:|f(x¢) - f(x¢¢)|<e.
Условие Коши для ¥: f определена в окрестности ¥
"e>0$a"x¢,x¢¢Î(-¥,a)Ç (¥,a)ÇX:|f(x¢) - f(x¢¢)|<e.
Теорема.
(Критерий Коши) Для существования конечного предела 
, где a число или символ н. и д., чтобы f удовлетворяла условию
Коши в окрестности a.
Необходимость.
Пусть e>0, для e/2 $ "xÎÇX:|f(x)-A|<e/2. Для x¢,x¢¢ÎÇX получим
требуемое неравенство |f(x¢) - f(x¢¢)|<|f(x¢) - A|+|f(x¢¢) -A| < e/2+e/2=e.
Достаточность.
Пусть e>0. Тогда $ "x¢,x¢¢ÎÇX:|f(x¢)-f(x¢¢)|<e . Если {xn} последовательность типа
Гейне для a , то из сходимости {xn}®a
и условия xn¹a следует, что $ N"n>N,
"p:xnÎи xn+pÎ. Тогда для тех же "n>N, "p : |f(xn)
- f(xn+p)|<e . Таким образом, последовательность
{f(xn)} будет удовлетворять условию Коши для последовательностей, поэтому существует
некоторый предел 
. Докажем, что для
любой другой последовательности типа Гейне {yn} предел будет также равен B. Составим
последовательность
, {zn}={x1, y1,x2, y2,x3, y3,…}.
Эта
последовательность будет последовательностью типа Гейне при x®a и, как уже доказано, предел 
должен существовать. Тогда все частичные пределы
должны совпадать, в частности, 
=
.
Правило Лопиталя Раскрытие
неопределенностей вида 0¥, 1¥ , 00,¥0,¥ - ¥. Векторы Справочный материал и примеры
к выполнению контрольной работы по математике Неопределенности
вида 0¥ сводятся к уже рассмотренным. Примеры. Кратные
и криволинейные интегралы. 1)
2)
|
||