a c < b c
Вещественные числа
Рассматривается множество R, со следующими свойствами
1. Свойство упорядоченности
"a, b либо a < b, либо a = b, либо a > b
1.1 a < b, b < c Þ a < c ( свойство транзитивности )
Определение: ( a < b ) или ( a = b ) , то пишут a £ b
2. Свойства операции сложения. Имеется отображение из R2 в R : "a,b ® a+b.
a + b = b + a (коммутативность) Математика производная, интеграл, дифференциальное исчисления признак Вейерштрасса
( в терминах суждений можно было бы написать "a:( "b: a + b = b + a) )
2.2 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность)
2.3 $0, "a Î R : a + 0 = a
2.4 "a $ противоположный - a : a + (-a) = 0
2.5 a < b Þ a + c < b + c ,( "c )
3. Свойства операций умножения (Имеется отображение "a,b ® ab)
3.1 a b = b a (коммутативность)
3.2 a ( b c ) = ( a b ) c (ассоциативность)
3.3
$1, "a Î R : 1 a = a
3.4 "a¹0$ a -1(обратный ): a a -1 = 1
3.5
a < b и c > 0 a c < b c
a < b и c < 0 a c > b c
4. Связь операций
4.1 ( a + b ) c = a c + b c ( дистрибутивность )
Определение
|
a | = 
Свойства | a + b | £ | a | + | b |, | | a | - | b | | £ | a – b |
5. Свойство Архимеда
"a $nÎN: n > a
Следствие: "a>0 "b $nÎ N: na > b
6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип вложенных отрезков.
Вначале некоторые определения.
Отрезок или сегмент - [a,b]={x:a£x£b}, b-a - длина
Система вложенных отрезков. Система отрезков {[aj,bj]} называется системой вложенных отрезков, если "k: [ak+1,bk+1]Ì[ak,bk] .
Принцип вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, общее для всех отрезков.
Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 - 6 называется множеством вещественных чисел и обозначается R. Числовая ось - изображение действительных чисел. Для вещественных чисел используется геометрическая терминология «точки».
Определение. Система отрезков стягивается к 0, если
"e>0 $N "n>N: bn-an < e
Лемма Кантора. Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [ak,bk] существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.
Доказательство. Одно число существует по свойству 6. Предположим, что существуют два таких числа x , y и x < y. Тогда
"n: an £ x < y £ bn Þ"n: y – x £ bn - an.
Возьмем e = y – x. Для него $ N, "n > N: bn - an < e, что противоречит предыдущему неравенству.
Примеры
работы с символом суммы 
.
Пример 1: Докажем сначала равенство для биномиальных коэффициентов
Cnk
+ Cnk-1=
, где 
, n! =1×2×…×n, 0! = 1.
=
=
=
=.
Элементы теории кривых
Непрерывность вектор функции r(t) определена
на [a,b]
и t0Î(a,b) Двойной интеграл Отметим здесь, что при интегрировании
функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают
y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы
интегрирования могут зависеть от у (но не от х). Справочный материал и примеры
к выполнению контрольной работы по математике r(t)
непрерывна, если Аналогично
определяется непрерывность справа, слева. Непрерывность
на множестве. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода Свойства p(t)
, q(t) , l(t) непрерывны в точке t0 Þ непрерывны p(t) + q(t), l(t)p(t) ,( p(t), q(t)), [
p(t) , q(t)] 
r(t) = r(t0)
|
||