Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Объёмы тел вращения http://premat.ru/ Комплексные числа

 

Задача №12

Исследовать ряд на сходимость

.

Решение

, .

Пусть , тогда:

,

так как ряд  – сходится, то по признаку сравнения сходится и исходный ряд.

Задача №13

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала

.

Решение

Зафиксируем  и рассмотрим числовой ряд , где . По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если , так как

,

то, если , т.е. , то ряд сходится абсолютно.

С другой стороны, если , то

,

следовательно, ряд расходится, если . Исследуем случай, когда , т.е.  или .

Рассмотрим ряд при .

,

сравним этот ряд с рядом . Так как

,

ряд  – расходится, то расходится и рассматриваемый ряд.

При  имеем

 – знакочередующийся ряд.

Так как  и стремление к нулю монотонное, это следует из того, что

,

то по признаку Лейбница ряд сходится.

Окончательно, область сходимости исходного ряда – полуинтервал .

Задача №14

Разложить в степенной ряд в окрестности точки , функцию

.

Решение

Представим рациональное выражение, задающее функцию в виде суммы простейших дробей:

,

,

.

Воспользовавшись стандартным разложением функции

, где .

Получаем:

.

Машиностроительное черчение выполнение четежей