Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика, информатика http://fihel.ru/ Пример вычисления индуктивности. Индуктивность соленоида

 

ЗАДАНИЕ №9

Чтобы решить задачу №9,необходимо уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической их формах. Подробно прочитать об этих числах можно в [4] гл7.

Пример 1. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Решение: Алгебраической формой комплексного числа называется следующий его вид z=x+iy. Действия над комплексными числами в алгебраической форме производятся как над многочленами вида a+xb. Специфическим приёмом деления комплексного числа на комплексное число является домножение и числителя и знаменателя на комплексно сопряжённое знаменателю число. В результате частное не изменится, но делитель будет вещественным.

Заметим что

Пример 2. Найти тригонометрическую форму числа . Найти:

Решение :Выражение вида  называется тригонометрической формой числа z, где модулем z называют , аргументом z – угол  между радиус-вектором точки z и положительным направлением оси Ох.

 

Очевидно, что если |z|r, arg z , то действительная часть числа z Re z x r cos, а мнимая часть числа z Jm z y  r sin 

 

Таким образом, в терминах модуля и аргумента комплексное число можно представить в виде

Для определения тригонометрической формы комплексного числа z найдём r,

Та как sin и cos угла  отрицательны, делаем вывод, что угол находится в III четверти

Вычислим по формуле Муавра

 120=1


Пример 3. Решить уравнение

Известно, что корнем n-степени из числа z называется любое число , такое, что  и ω имеет n различных значений.

Решение: если число z представить в тригонометрической форме

то значения можно представить формулой

Поскольку все  одинаковы, а аргументы отличаются на 2П/n, то значения на комплексной плоскости располагаются в вершинах правильного n угольника. Величина  называется главным значением корня

 


Итак, корнями уравнения будут три единичных вектора, расположенных под углом в 120 градусов друг к другу.

 

Решить самостоятельно следующие задачи:

.Найти все значения

.Найти все значения

Машиностроительное черчение выполнение четежей