Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Понятие производной http://siclas.ru/ Комплексный чертеж Начертательная геометрия http://matses.ru

 

ЗАДАНИЕ №11

Следующая задача контрольной работы такого типа :

Задана функция . Установить, является ли данная функция непрерывной.

В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева  и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

Любая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке 

 

Скачок  функции  в точке  

 

Пример 1. Пусть функция  имеет вид

Решение: Функция  определена для всех . Если , то ,

поэтому для всех  функция непрерывна . Если ,  непрерывна

для всех .Если,  для всех  также непрерывна .Поэтому точки разрыва

могут быть только для тех значений , в которых заданная функция  меняет свой

аналитический вид, а именно в точках и .

Исследуем непрерывность функции  в точке . Для этого найдём:

 предел слева

 ,

 предел справа

.

Так как пределы слева и справа конечны, равны между собой и равны значению

функции в точке , то получаем, что функция  непрерывна в точке .

Пусть . Находим аналогично

Предел слева

,

Предел справа

 

Так как пределы слева и справа конечны, но не равны между собой, то в точке

 функция имеет разрыв первого рода со скачком.

.

Строим график функции , выделяя области определения составляющих

функций стрелками, если они не определены в точке  или  .

Подробнее об этом можно прочесть в [4] гл.2 §9, 10, 11, [1] гл.8 и задачи такого типа можно найти в [3] гл.6§6.

Решите самостоятельно следующие задачи.

11.1 Исследуйте на непрерывность функцию

11.2 Какого рода разрыв имеет функция

 в точке x=0 ?

Машиностроительное черчение выполнение четежей