Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

ЗАДАНИЕ №12

Следующая задача относится к вычислению производных.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки «x».

Производной функции y=f(x) в точке «x» называется предел отношения приращения функции  к соответствующему приращению аргумента , при стремлении  к нулю.

Производная функции f(x) в точке x существует, если f(x) непрерывна в точке x и

Для отыскания производных элементарных функций используется таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования.

1.

10.

2.

11.

3.

12.

4.

13.

5.

14.

6.

15.

7.

16.

8.

17.

9.

18.

Основные правила дифференцирования:

Для дифференцируемых в точке x функций f(x) и g(x) справедливы равенства:

Производная сложной функции где - промежуточный аргумент. Если существуют  и , то

 или

Производная обратной функции. Если для функции y=f(x) существует обратная функция , которая имеет в точке y производную , то

 или

Дифференцирование неявной функции. Пусть уравнение

определяет y как неявную функцию от x, т.е. y=f(x) – неизвестная дифференцируемая функция и F(x,y) сложная функция. Дифференцируем по x обе части и получаем уравнение первой степени относительно , из которого легко находится - производная искомой функции.

Производная параметрически заданной функции x=x(t), y=y(t), - параметр. Если существуют производные и , то

Пример 1. Найти производные следующих функции:

а) , б) , в)

Решение: а) . Наша функция является суммой двух функций. Воспользуемся свойством производной суммы

Константу  вынесем за знак производной и получим две производные сложных функций:

Поскольку внешняя функция в первом слагаемом – степенная, а во втором – натуральный логарифм, то для ,  и ,  по формуле дифференцирования сложной функции получим:

б) . Здесь мы воспользуемся свойством производной произведения двух функций , где  - есть производная сложной функции, внешняя функция которой показательная, а внутренняя – степенная.

в) , . Производную функции, заданной параметрически, находим, учитывая, что ,  - сложные функции.

Подробно о производных можно прочесть в [1] гл.9, [4] гл.3 и найти задачи можно в [3] гл.7 §1.

Решите следующие задачи самостоятельно.

Найдите производные следующих функций.

12.1  

12.2 

12.3 

12.4 

12.5  

Машиностроительное черчение выполнение четежей