Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

 

ЗАДАНИЕ №8

Это задание относится к разделу «линейные операторы»

Если в линейном пространстве R каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор , то говорят, что в пространстве R задан оператор A. Оператор A называется линейным, если для любых векторов  и  и любого действительного числа λ выполняются равенства:

Значит, для того, чтобы проверить, является ли оператор A линейным надо проверить, выполняются ли эти равенства.

Проверим, является ли оператор A линейным в R3

Возьмем два вектора  и

То есть оператор A является линейным, найдем его матрицу.

Первая координата произведения получается умножением первой строки на столбец , то есть , значит , ,

Вторая координата произведения:

  

Третья координата произведения:

  

Итак, матрица оператора

Найдем собственные значения линейного оператора:

(1-λ)·(1-λ)2-1·1=0

(1-λ)3=1

1-λ=1

λ=0

Оператор A имеет собственное значение λ=0 кратности 3.

Для определения координат собственного вектора получаем систему уравнений:

 положив

 получим:

Собственному числу  соответствует собственный вектор

Машиностроительное черчение выполнение четежей