Интегральное исчисление
Первообразная, неопределенный интеграл
1.Определения
Интегрирование – обратная задача к дифференцированию.
Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для f(x) на связном множестве X, если F¢(x) = f(x).
Примеры:
1) f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-¥,¥)
f(x)=a (Const), F(x)=ax+C, X=(-¥,¥)
f(x)=cos x, F(x)=sin x+C, X=(-¥,¥)
f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,¥) Тройной интеграл примеры решений задач типового расчета по математике
Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то F1 =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если F1 , F- первообразные для f, то F1 =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа). Условие X – связное – существенно.
Пример. Функции ln |x| и ln|x| + sign x являются первообразными для 1/x на множестве X=(-¥,0)È(0,¥), но их разность не является константой.
Определение. Совокупность всех первообразных для f на связном X (если они существуют) называется неопределенным интегралом функции f и обозначается
Таким образом, если F – первообразная для f, то
=F(x)+C на X
Замечание. В обозначении неопределенного интеграла x несет смысловую нагрузку переменной для функции F(x)+C. Так, если x=j(t), то
F(j(t))+C =
таким образом, интеграл справа понимается, как суперпозиция функций и x=j(t).
Функциональная зависимость систем
функций Вычислить значение функции Необходимые
и достаточные условия зависимости функций. Определение. Пусть функции Найти
общее решение дифференциальных уравнений . определены
и дифференцируемы в открытой области D. Одна из этих функций, например, f1 называется
функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая
функция Ф : f1(x)
= Ф(f2(x),f3(x),…,fp(x)), " x Î D. 
в точке 
, ответ представить в алгебраической
форме комплексного числа Справочный материал и примеры к выполнению контрольной
работы по математике
|
||