dt непрерывна на [a,b].
Теоремы о среднем, аддитивность по множеству, неравенство Коши-Буняковского
Теорема
(Непрерывность интеграла по верхнему пределу). Если f интегрируема на [a,b], то
F(x) = dt непрерывна на [a,b].
Доказательство.
|F(x+Dx) – F(x)| = |
dt| £ M |Dx|. Определение
производной функции Математика примеры решения задач
Теорема 4. Если g(x) – монотонна на [a,b], f(x) – интегрируема, то$x :
f(x)g(x) dx = g(a) 
f(x) dx + g(b) 
f(x) dx .
Доказательство
(Для случая 
, f(x)³0). Сначала докажем утверждение при дополнительном условии
g(x) – монотонно возрастает. Из неравенств g(a)f(x) £ g(x)f(x) £ g(b)f(x) следует
,
откуда получим
.
Таким
образом, m = 
Î[g(a),g(b)]. Положим
a=
. В этом
случае b=1-a =
. Для таких a, b будет выполнено ag(a)+bg(b)=
Для xÎ[a,b] определим две функции
, 
.
Отметим, что a(a)=1, a(b)=0. Функция a(x) непрерывны на [a,b] и поэтому для числа aÎ[0,1]$x:a(x)=a (теорема о промежуточных значениях непрерывной функции). Тогда b(x)=1-a(x)=b и следовательно a(x)g(a)+b(x)g(b)=m или, что тоже
g(a)+
g(b)= .
Откуда и следует требуемое равенство.
Если функция монотонно убывает, то следует рассмотреть функцию G(x) = -g(x) , которая будет монотонно возрастает и для нее утверждение доказано, откуда будет следовать утверждение для функции g(x) .
Экстремумы функций многих переменных Достаточные
условия для экстремума. Лемма.
Единичная сфера S=S1(O)={xÎRn:r(x,O)=1} (O=(0,0,…,0)) является
замкнутым ограниченным множеством. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями Доказательство.
Ограниченность очевидна. Замкнутость следует из того, что функция f(x) = r(x0,x) является непрерывной функцией. Рассмотрим
квадратичную форму q(x)= где
akj= Определить вид кривой 
(1),
, xt = x0 + t Dx, Dx = x – x0 , xk = Dxk .
. Справочный материал и примеры
к выполнению контрольной работы по математике
|
||