=F(x)+C
, x=j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция 
= F(j(t))+C, тогда функция
F(t)=f(j(t))j¢(t) имеет
первообразную, равную F(j(t)). Таким образом,Интегральное исчисление
Два основных метода интегрирования
Замена переменного
Если F(x)–
первообразная для f(x) на X т.е. =F(x)+C
, x=j(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F(j(t))+C, тогда функция
F(t)=f(j(t))j¢(t) имеет
первообразную, равную F(j(t)). Таким образом,
=
.
Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.
Примеры:
cos t dt = d sin t = 
+ C, x = sin t. Локальные
максимумы и минимумы примеры решений задач типового расчета по математике
J
= 
, сделаем замену x = t6, тогда
J=6
=6
=6t – 6 arctg t + C =6
-6 arctg +C
Интегрирование по частям
Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует
dv = (x)v¢(x)dx. Тогда существует
du и выполняется равенство
du = uv - dv (формула интегрирования по частям)
Доказательство. Пусть dv = F(x)+C.
Тогда функция uv – F будет искомой, что можно проверить дифференцированием.
Пример. Выберем функции: v(x) = ln x, u(x) = x, тогда
x dx =x ln x - 
=x ln x – x + C.
Функциональная зависимость систем
функций Вычислить значение функции Необходимые
и достаточные условия зависимости функций. Определение. Пусть функции Найти
общее решение дифференциальных уравнений . определены
и дифференцируемы в открытой области D. Одна из этих функций, например, f1 называется
функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая
функция Ф : f1(x)
= Ф(f2(x),f3(x),…,fp(x)), " x Î D. 
в точке 
, ответ представить в алгебраической
форме комплексного числа Справочный материал и примеры к выполнению контрольной
работы по математике
|
||