правильная дробь и a – вещественный корень многочлена
Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)aQ1(x), Q1(a)¹0,a³1. Тогда существует A и многочлен P1(x) такие, чтоИнтегральное исчисление
Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование
Разложение дроби на элементарные
Лемма
1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена
Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)aQ1(x), Q1(a)¹0,a³1. Тогда существует A и многочлен P1(x) такие, что
,
где
- правильная дробь.
Доказательство: Рассмотрим разность (A - некоторое, пока неопределенное число)
. Дивергенция
примеры решений задач типового расчета по математике
Дробь
справа правильная, так как порядок P(x) и AQ1(x) меньше порядка знаменателя. Положим
, тогда для числителя число a будет корнем P-AQ1=(x-a)P1(x),
что и требовалось доказать.
Лемма
2. Пусть правильная дробь и w=u+iv (v¹0) – комплексный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x2+px+q)bQ1(x), Q1(w)¹0,b ³1. Тогда
существуют вещественные числа M, N и многочлен P1(x) с вещественными коэффициентами
такие, что
,
где
- правильная дробь.
Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и
разложение многочлена по парно простым корням
a1,a2,…,ar,w1,w2,…,ws,
(x-wk)(x-
)=x2+pkx+qk
кратностей
a1,…,ar,b1,…,bs . Тогда существуют вещественные числа 
такие, что справедлива формула
=
+…+
+
+…+
(*)
Доказательство. По лемме 1
=
+
+…+
+
.
В последнем слагаемом знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.
Определение. Дроби вида
называются элементарными.
Доказанная теорема утверждает, что всякая правильная дробь может быть разложена на элементарные дроби.
Функциональная зависимость систем
функций Вычислить значение функции Необходимые
и достаточные условия зависимости функций. Определение. Пусть функции Найти
общее решение дифференциальных уравнений . определены
и дифференцируемы в открытой области D. Одна из этих функций, например, f1 называется
функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая
функция Ф : f1(x)
= Ф(f2(x),f3(x),…,fp(x)), " x Î D. 
в точке 
, ответ представить в алгебраической
форме комплексного числа Справочный материал и примеры к выполнению контрольной
работы по математике
|
||