Интегральное исчисление
Интегрирование некоторых иррациональностей
1.
Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Интегралы Типовые задачи контрольной математика примеры решений задач типового расчета по математике
Пример. Функция указанного в интеграле вида представлена ниже
=
Интегралы
такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены 
, m – общий знаменатель дробей a,…,g. В рассмотренном выше примере m=18.
2.
Подстановки Эйлера
a)
a>0, 
В
этом случае ax2+bx+c=ax2+2
xt+t2, откуда 
-рациональная функция. Таким образом, подинтегральное
выражение примет вид
=R1(t)-рациональная функция от t. Кроме того dx=R2(t)dt.
b) Корни x1,x2 квадратного трехчлена ax2+bx+c вещественные, тогда ax2+bx+c =a(x - x1)(x - x2).
Если
x1 = x2 , то 
=|x – x1| и иррациональность отсутствует. Если x1 ¹ x2, то полагают 
и задача сводится к ранее рассмотренной
.
В
этом случае можно так же сделать замену 
.
c) c>0
. В этом случае
ax2+bx+c=
x2t2+2
xt+ с, ax+b= xt2 +2t, 
- рациональная функция. После замены получим
=R1(t) - рациональная функция от t, dx=R2(t)dt.
Можно показать, что этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи (если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax2+bx+c<0 для всех x).
Функциональная зависимость систем
функций Вычислить значение функции Необходимые
и достаточные условия зависимости функций. Определение. Пусть функции Найти
общее решение дифференциальных уравнений . определены
и дифференцируемы в открытой области D. Одна из этих функций, например, f1 называется
функционально зависящей в области D от остальных, если существует дифференцируемая
функция Ф : f1(x)
= Ф(f2(x),f3(x),…,fp(x)), " x Î D. 
в точке 
, ответ представить в алгебраической
форме комплексного числа Справочный материал и примеры к выполнению контрольной
работы по математике
|
||