Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Пример. Вычислить несобственный интеграл

 

ЗАДАНИЕ №2

Для решения второй задачи потребуются следующие понятия и формулы:

Аналогично тому , как мы действовали в трехмерном случае( в пространстве) при решении первой задачи, рассмотрим на плоскости прямую. Чтобы задать прямую, нужно задать точку, через которую она проходит и вектор, задающий направление: и.

 

 M0 (x0, y0)

 M(x, y)

Возьмем текущую точку прямой и рассмотрим вектор .

Вектор  коллинеарен вектору и их координаты пропорциональны

 - это условие и задает уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Перенесем все в левую часть и, обозначив числовые коэффициенты другими буквами, получим общее уравнение прямой

Взяв в качестве вектора  вектор, соединяющий две точки прямой  и ,получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

.

Выразив и обозначив коэффициент при буквой , а остальные слагаемые буквой , получим уравнение с угловым коэффициентом

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

Если есть отрезок , где  и  и точка делит его в заданном отношении , то есть

 , то

координаты точки

;  (формулы деления отрезка в заданном отношении)

Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле, полностью аналогичной формуле расстояния в пространстве, только относительно двух переменных

Пример 1. Задан отрезок , где (-2,5), (4,17).

Определить координаты точки  , расстояние от которой до точки  в два раза больше, чем расстояние до точки.

По условию задачи

Координаты точки  нам неизвестны, но она делит отрезок  в отношении .

Итак , =2

  

Искомая точка имеет координаты

Пример 2. Прямые  и  являются сторонами треугольника, а точка -точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на неё. Составить уравнение третьей стороны.

а) Точка А является точкой пересечения прямых АВ и АС, т.е. лежит и на той и на другой прямой. Значит её координаты должны удовлетворять и уравнению прямой АВ и уравнению прямой АС.

 сложим уравнения 

Итак, точка А (2,-3).

Высота АР – это прямая, проходящая через две заданные точки А и Р:

 

  ; 

 (АР)

 то есть угловой коэффициент  высоты АР равен -5

в) Прямая ВС перпендикулярна АР, значит её угловой коэффициент

.

Значит её уравнение с угловым коэффициентом имеет вид

(ВС) , где неизвестно.

Но мы знаем, что прямая ВС проходит через точку Р, -значит координаты точки Р обращают уравнение ВС в тождество.

Подставим координаты точки Р в уравнение ВС:



Итак, уравнение ВС:

 

 или

 

Более подробно этот материал можно найти в  глава 2;  §7, §8; в  глава 1 §2 можно найти аналогичные решенные задачи

Выполните следующие задания :

2.1 Найти угол между прямыми

 и

2.2 Даны уравнение двух сторон параллелограмма (АВ) и (АD) и точка пересечения его диагоналей N(1,2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.

Машиностроительное черчение выполнение четежей