Кратные интегралы. Двойной интеграл

Определение двойного интеграла

Для квадрируемой области D ее площадь будем обозначать mD . Пусть f(x,y) ограниченная функция, определенная в области D (область также ограничена). Разобьем область D на части непрерывными линиями так, чтобы каждая из полученных таким образом подобластей Di была квадрируема (см. рис. ch1_1_1.swf). Полученный набор областей Dk , k=0,1,…,n-1 называется разбиением области D={Dk}. В каждой из подобластей выберем точку Mk=(xk,hk)ÎDk. Полученный набор точек обозначим X ={Mk}. Если функция f(x,y) определена на D, то интегральной суммой для набора f, D, X называется выражение

  (1)

Величина l(D)=d Dk называется характеристикой разбиения D (d Dk – диаметр множества ). Условие Mk=(xk,hk)ÎDk, для всех k мы будем обозначать XÎD.

Определение. Предел интегральных сумм s(f,D, X) при l(D)®0 (если он существует и не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек ) называется двойным интегралом от функции f на D и обозначается

=.

Дифференцирование сложной ФНП Сложная ФНП, как и сложная функция одного переменного, есть суперпозиция двух или нескольких функций. Например, сложная функция , определенная на множестве , понимается как суперпозиция "внешней" функции  и "внутренних" функций , , определенных на множестве . При этом множество значений

Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Для краткости можно использовать обозначение .

Более точно это определение выглядит следующим образом:

$J"e>0$d>0:(l(D)<d, XÎD)Þ|s(f,D, X)-J|<e.

Функция, для которой существует интеграл, называется интегрируемой на D.

Для доказательства свойств интеграла будет полезно следующее замечание. Если функция интегрируема на данном множестве, то можно выбрать какую-нибудь последовательность разбиений Dm этого множества с характеристикой, стремящейся к нулю l(Dm)®0 и некоторым набором промежуточных точек XmÎDm для каждого из разбиений. Тогда для числовой последовательности sm=s(f,D m,X m) будет выполнено равенство

=.

Такую последовательность в дальнейшем будем называть сходящейся последовательностью интегральных сумм.

Теорема. Если функция интегрируема, то она ограничена. Доказательство проводится, как для функции одного переменного. В случае неограниченности функции на D найдется последовательность точек {P j} из области D, на которой предел функции будет равен бесконечности. Тогда для любой интегральной суммы выбором одной из промежуточных точек можно сделать соответствующее слагаемое этой суммы сколь угодно большим, не изменяя остальных слагаемых. Для этого следует выбирать в качестве этой промежуточной точки члены последовательности {P j}.

Геометрический смысл двойного интеграла.

 Интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров, основанием которых служат области Dk и высотой f(Mk). При достаточно мелком разбиении D этот суммарный объем естественно считать приближенно равным объему области, ограниченной графиком функции ( поверхность z=f(x,y), считаем, что f>0) плоскостью z=0. Точным значением объема указанной области является интеграл .

 

Элементы тензорного исчисления

Примеры линейных функционалов

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств