Суммы Дарбу и их свойства Определения

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Суммы Дарбу и их свойства Определения.
Пусть функция f(x,y) определена на D и D={Dk} разбиение этой области. Нижней суммой Дарбу называется сумма
s(f,D)=, mk =.
Верхней суммой Дарбу называется сумма
S(f,D)=, Mk =.
Свойства сумм Дарбу.

Определение. Если разбиение D2 получено из разбиения D1 добавлением некоторого числа новых линий, то говорят, что разбиение D2 следует за разбиением D1 (или D2 является более мелким, чем D1), при этом пишут D1 D2 .

Диффенцирование неявно заданной функции Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением в окрестности точки .

Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП Исследовать на локальный экстремум .

Для любого разбиения D и набора промежуточных точек XÎD имеют место соотношения
s(f,D) £ s( f,D, X) £ S(f,D), s(f,D) = s( f,D, X), S(f,D) = s( f,D, X).
Следует непосредственно из определения интегральных сумм и сумм Дарбу.
2) Если D1 D2 два разбиения D, то
s(f,D1) £ s(f,D2) , S(f,D2) £ S(f,D1) .
Другими словами, при измельчении разбиения нижние суммы могут только возрасти, а верхние суммы могут только уменьшиться. Это утверждение достатонодоказат для случая, когда второе разбиение получено из первого разбиением некоторого множества D¢k первого разбиения D1 на два квадрируемых множества D¢¢k, D¢¢k+1. Рассмотрим нижние суммы Дарбу. Введем обозначения
, , . Нижняя грань по всему множеству D¢k будет меньше или равна, чем нижняя грань по части этого множества, поэтому m¢k£ m¢¢k , m¢k£ m¢¢k+1 . Для нижних сумм Дарбу можно записать
s(f,D1)=m¢k mD¢k +...,
s(f,D2) = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 +...
В каждой из сумм показаны только слагаемые, которыми они отличаются. Таким образом, разность сумм
s(f,D2) - s(f,D1) = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 - m¢k mD¢k = m¢¢k mD¢¢k + m¢¢k+1 mD¢¢k+1 -
- m¢k (mD¢¢k +mD¢¢k+1) = (m¢¢k - m¢k) mD¢¢k +( m¢¢k+1 - m¢k ) mD¢¢k+1 ³ 0.
Аналогично доказывается утверждение для верхних сумм Дарбу.
Для любых разбиений D1 ,D2 данного отрезка справедливо неравенство
s(f,D1) £ S(f,D2).
Обозначим через D3 = D1 ÈD2 разбиение, образованное всеми линиями двух исходных разбиений. Очевидно D1 D3 , D2 D3 . Тогда, как это следует из предыдущего свойства
s(f,D1) £ s(f,D3) £ S(f,D3) £ S(f,D2),
откуда и следует доказываемое неравенство.

Элементы тензорного исчисления

Примеры линейных функционалов

Нулевой функционал f(x)=0 для любого xÎ X. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

f(x) = для любых x(t)Î C[a,b].

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.

Пусть X – n-мерное линейное пространство, ek базис в этом пространстве. Для любого xÎ X существует единственное разложение x = ekx k . Так как коэффициенты этого разложения определяются однозначно, то можно записать x k= f k(x). Таким образом, если x = ek f k(x) , y = ek f k(y) , то

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств