, 
в области D. Обозначим эти производные p=, q=. Уравнение касательной плоскости в точке (x,y,z) имеет вид
Z – z = p (X – x) +q(Y – y). Нормаль 
=±(p, q, -1), 
.
Направляющие косинусы нормали равныПоверхностные интегралы
Поверхностные интегралы 1-го рода
Площадь поверхности, заданной уравнением z=f(x,y)
Будем предполагать,
что функция f(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными
, в области D. Обозначим эти производные p=, q=. Уравнение касательной плоскости в точке (x,y,z) имеет вид
Z – z = p (X – x) +q(Y – y). Нормаль =±(p, q, -1), .
Направляющие косинусы нормали равны
cos(
,
) = cos a = ±
, cos(,
) = cos b
= ±
, cos(,
) = cos g =
.
Разобьем D на {Di} . Цилиндры с основаниями Di вырезают на поверхности области Si = {(x,y,z): (x,y)ÎDi , z = f(x,y) }.
Вычислить площадь фигуры, лежащей
в первой четверти внутри круга 
и ограниченной параболами 
и 
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями 
и осью Ох.
На Sk выберем промежуточную точку Mk(xk ,hk , zk) , zk = f(xk ,hk ). В этой точке построим касательную плоскость. Цилиндр с основание Dk вырезает на этой плоскости фигуру Tk с некоторой площадью mTk . Известно, что
mDk
= mTk |cos(,)|.
Таким образом
mTk =mDk
.
За площадь поверхности z=f(x,y) принимается число
mS=
=
=
=
Замечание 1. Координаты равноправны, в частности, для поверхности y=j(x,z) получим
mS=
Замечание 2. Для вычисления площади поверхности не представимой ни с одном из видов z=f(x,y), y=j(x,z), x=y(y,z) можно попытаться ее разбить на отдельные поверхности указанных типов.
Выражение градиента в сферических координатах grad u = ui ri = ui grad u = Вычислить
площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями
в полярных координатах. Выражение дивергенции в сферических
координатах
= ui 
.
r1 +
r2 + 
r3 =
er +
ej
+
e q Вычислить
криволинейный интеграл 
Справочный
материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
|
||