Критерий интегрируемости Нижний и верхний интегралы

Кратные интегралы. Двойной интеграл

Критерий интегрируемости Нижний и верхний интегралы.
Определение. Пусть D={Dk}. Колебанием функции f(x) на множестве Dk будем называть величину
wk (f) = sup |f(P) – f(Q)| = Mk – mk , где точная верхняя грань берется по всевозможным P, Q из Dk , mk =, Mk =.
отметим, что
S(f,D) - s(f,D) =.

Определение. Нижним интегралом называется точная верхняя грань нижних сумм Дарбу = sup s(f,D). Верхняя грань берется во всевозможным разбиениям области D. Аналогично определяется верхний интеграл , как точная нижняя грань верхних сумм Дарбу = inf S(f,D).

Абсолютный экстремум ФНП Допустимая точка называется точкой абсолютного минимума (или максимума) ФНП , в задаче (*), если
выполняется условие: или .

Интегрирование функций нескольких переменных ФНП рассматривается на некотором множестве , , . Пусть – ограниченное, связное и замкнутое множество точек из ; впредь для краткости такое множество будем называть фигурой . Интеграл ФНП по фигуре строится в зависимости от количества независимых переменных ФНП и структуры (вида) фигуры

Отметим, что для ограниченной функции существует, как нижний, так и верхний интегралы. Это следует из того, что множество значений нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например, значением любой верхней суммы Дарбу. Тоже самое можно сказать об ограниченности снизу множества значений верхних сумм Дарбу.
Теорема. Для любого разбиения D данного отрезка справедливы неравенства
s(f,D) £ £ £ S(f,D).
Доказательство. Не очевидным является только неравенство £ . Предположим противное, т.е., что < . Выберем непересекающиеся e окрестности точек , , +e <- e. По определениям точных граней найдутся два разбиения D1 , D2 такие, что S(f,D1)< +e <- e < s(f,D2), что противоречит свойству сумм Дарбу.

Элементы тензорного исчисления

Примеры линейных функционалов

Нулевой функционал f(x)=0 для любого xÎ X. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки . Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

f(x) = для любых x(t)Î C[a,b].

Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность. Найти массу пластины.

Пусть X – n-мерное линейное пространство, ek базис в этом пространстве. Для любого xÎ X существует единственное разложение x = ekx k . Так как коэффициенты этого разложения определяются однозначно, то можно записать x k= f k(x). Таким образом, если x = ek f k(x) , y = ek f k(y) , то

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств