Критерий интегрируемости. Теорема Дарбу.
Теорема Дарбу. Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируемой на D, необходимо и достаточно, чтобы разность сумм Дарбу
S(f,D) - s(f,D) ® 0 при l(D)®0.
Т. е.
$
Û
"e>0$d>0"D,l(D)<d: S(f,D)
- s(f,D)<e.
Доказательство. Необходимость. Пусть интегрируема
и J=. Возьмем какое-либо e>0 для него $d>0 такое, что при
l(D)<d будет выполнено неравенство
|J - s(f,D,X)|<e/3 ( независимо от выбора XÎD ). Понятие
интеграла ФНП 
Для построения интеграла ФНП
по фигуре 
, 
, используется следующая процедура
построения интегральной суммы и переход к пределу. В зависимости от
числа независимых переменных функции, размерности и меры фигуры интеграл
имеет различное представление, интерпретацию
и способ счета.
так как s(f,D)
=
s(
f,D, X),
S(f,D) =
s( f,D, X),
то
|S(f,D) - J|£ e /3, |J - s(f,D)|£ e /3
тогда
|S(f,D) - s(f,D)|=|S(f,D) - J + J - s(f,D)| £ |S(f,D) - J| +| J - s(f,D)| £ 2e /3<e .
Достаточность. Разность сумм Дарбу может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Как уже отмечалось, нижний и верхний интегралы существуют и
s(f,D)
£ 
£ 
£ S(f,D), = sup s(f,D), = inf S(f,D).
Так
как 
(S(f,D) - s(f,D))
= 0 , то = . Положим J = = , при этом |s(f,D,x)
– J | £ S(f,D) - s(f,D).
Откуда и следует требуемое утверждение.
в окрестности особой
точки 
. Справочный
материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
для любых x(t)