Классы интегрируемых функций
1.Непрерывные функции.
Теорема 1. Всякая непрерывная на компакте D функция интегрируема на D.
Доказательство. Как ранее отмечалось для любого разбиения D={Dk}
S(f,D)
- s(f,D) =
, wk (f) = Mk – mk
.
По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство wk(f)< e / ( b – a ). Тогда
S(f,D)
- s(f,D) =
<
=e .
Теорема 2. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число точек или линий разрывов интегрируема.
Теорема необходимое условие существования определенного
интеграла 
Пусть 
,
, 
– множество
точек из 
, т.е. 
. Построить схематично график
функции 
на множестве :
Для функции 
представить на плоскости 
множество точек 
ее существования; указать свойства
этого множества.
Без доказательства.
Теорема
3. Если f интегрируема на D и P – прямоугольник, содержащий D, то функция F(M)=
интегрируема на D и
=
.
Доказательство. Так как функция интегрируема на D, то она ограничена |f|£ M. Пусть e0 >0. Так как область D квадрируема, то существует окрестность U (открытое множество) ее границы ¶D c площадью m(U) < e0 , ¶DÌ U . Можно показать, что существует e раздутие границы ¶D , лежащее внутри U. e раздутие границы ¶D , представляющее собой объединение e окрестностей всех точек границы обозначим через Ue . Так как функция интегрируема на D, то существует d такое, что
S(f,DD)-s(f,DD) < e0 при l(DD)<d, (1)
где DD – разбиение области D. Пусть разбиение DP области P выбрано с характеристикой l(DP)< min(d,e) . Разобьем для разность сумм Дарбу на три суммы
S(f,DP)-s(f,DP)=
=å¢ +墢 +墢¢.
В первой сумме å¢ суммирование распространяется на слагаемые, для которых множества разбиения Pk пересекаются с границей ¶D. Ко второй сумме 墢 относятся слагаемые, для которых Pk содержаться в D, за исключением попавших в первую сумму. В третьей сумме 墢¢ остаются все остальные слагаемые. Отметим, что в эту сумму попадают слагаемые, равные нулю. Условие l(DP)<e позволяет сделать заключение, что таким образом будут собраны все слагаемые. Тогда можно сделать следующие оценки для этих сумм.
墢 < e0 в силу (1).
墢¢ = 0, так как в области, где проходит суммирование f=0.
å¢ < 2M墢¢mPk <2Mm(U) < 2M e0.
Из этих оценок следует выполнение условий критерия интегрируемости.
Для доказательства
равенства = следует выбрать
сходящуюся последовательность интегральных сумм для f и P так, чтобы sm(F)=
sm(f) . Для этого нужно выбрать сходящуюся последовательность интегральных
сумм для F и P так, чтобы в число линий разбиения входила граница области и подходящим
образом подобрать промежуточные точки. А именно, для слагаемых, не попавших в
sm(f) промежуточную точку следует выбрать
исходя из условия f()=0. В этом случае интегральная сумма по множеству P будет
совпадать с интегральной суммой по множеству D.
в окрестности особой
точки 
. Справочный
материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
для любых x(t)