Свойства определенного интеграла
1.Простейшие свойства
1)
Если f и g интегрируемы на D, то f + g также интегрируема и
(f(x,y)
+ g(x,y))dxdy = f(x,y)dxdy + g(x,y)dxdy.
Доказательство. Пусть w¢k колебание функции f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk , wk колебание функции f+g на Dk . Тогда
wk =sup|f(P¢)+g(P¢) – f(Q¢) – g(Q¢)|£ sup(|f(P¢)– f(Q¢) |+| g(P¢)– g(Q¢)|)£
£ sup|f(P¢) - f(Q¢)|+ sup|g(P¢) – g(Q¢)|=w¢k + w¢¢k .
Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции.
Иногда удобно использовать переход от переменных 
и 
к полярным
координатам. В частности, условие 
(одновременно
и независимо друг от друга) преобразуется в условие 
при всяком 
(независимо от ; сразу для всех ).
Отсюда
S(f+g ,D) – s(f+g ,D)=Swk Dxk £ Sw¢k Dxk + Sw¢¢k Dxk .
Откуда следует интегрируемость суммы. Далее для какой-нибудь сходящейся последовательности интегральных сумм
sm(f+g) = sm(f) + sm(g).
переходя к пределу при m®¥ получим требуемое равенство.
Если f интегрируема на D , то cf(x) также интегрируема и
c
f(x,y)dxdy =cf(x,y)dxdy.
Утверждение следует из соотношения s(cf,D,X)= cs(f,D, X) для интегральных сумм.
Если f интегрируема на D , то |f| также интегрируема и
|
f(x,y)dxdy | £| f(x,y)|dxdy.
Доказательство. Пусть w¢k колебание функции | f | на Dk , а wk колебание функции f на Dk . Тогда
w¢k =sup||f(P¢)| –| f(Q¢)||£ sup|f(P¢)– f(Q¢) |= wk .
Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для сходящейся последовательности интегральных сумм
|sm(f)|£ sm(|f|).
переходя к пределу при m®¥ получим требуемое неравенство.
Если f, g интегрируемы на D , то fg также интегрируема.
Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f(x,y)|£ M, |g(x,y)|£ M . Пусть w¢k колебание функции f на Dk , w¢¢k колебание функции g на Dk, а wk колебание функции f g на Dk . Выполнено соотношение
f(P)g(P) – f(Q)g(Q) = f(P)g(P) – f(P)g(Q) + f(P)g(Q) – f(Q)g(Q) =
= f(P)(g(P) –g(Q)) + g(Q)( f(P) – f(Q)). Откуда следует неравенство
wk £ Mw¢¢k + Mw¢k и, следовательно, функция fg интегрируема.
Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.
Доказательство. Для одной точки. Обозначим P0 точку, в которой f(P0)¹0.
Для
заданного e >0 рассмотрим e-окрестность
Ue точки P0. Если характеристика разбиения l(D)<
e , то для любой интегральной суммы будет
справедлива оценка 
. Это следует
из того, что все, возможно отличные от нуля слагаемые суммы 
попадут в Ue .
Следствие. Если f1 интегрируема, и f2 отлична от f1 на конечном числе точек, то f2 также интегрируема и
f1(x,y)dxdy
= f2(x,y)dxdy .
Доказательство. f2 = f1 + ( f2 – f1 ).
Замечание. Можно доказать, что справедливо и утверждение: Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек или линий, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.
Если f и g интегрируемы на D и f £ g на D , то
f(x,y)
dxdy £ g(x,y) dxdy .
Для сходящейся последовательности интегральных сумм
sm(f)£ sm(g).
в окрестности особой
точки 
. Справочный
материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
для любых x(t)