Теоремы о среднем, аддитивность по множеству.
Теорема 1. Если m £ f(x,y) £ M на D, то $ cÎ[m,M] :
= c mD.
Доказательство (для случая mD¹0).
m mD
=
dxdy £
£ 
dxdy = M mD.
Откуда
и
c=
.
Следствие. Если f непрерывна на связном компакте D, то $xÎD:
Многие теоремы
о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр.
ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема
об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности
функции, имеющей конечный предел при 
, теорема "об арифметике"
функций, имеющих конечные пределы при и т.д. Приемы вычисления предела
ФОП также могут быть использованы для ФНП.
Показать, что функция
непрерывна в точке 
по каждой координате 
и 
, но не является
непрерывной в точке
по совокупности переменных.
dxdy = f(x)mD.
Теорема 2. Если f – интегрируема на D и D=D1ÈD2 (разбиение произведено некоторой линией), то f(x) – интегрируема на D1 и D2 и
dxdy = 
dxdy + 
dxdy .
Доказательство. Пусть D¢ - разбиение D1. Дополним это разбиение до разбиения D всего D так, чтобы характеристика разбиения не изменилась l(D) = l(D¢) . В этом случае S(f,D¢) –s(f,D¢) £ S(f,D)-s(f,D) , откуда следует интегрируемость на D1. Аналогично доказывается интегрируемость на области D2 . Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать сходящиеся последовательности интегральных сумм s( f, D¢ m,X m), s( f,D¢¢ m, X m) для D1 и D2 и их объединение Dm = D¢ m +D¢¢ m. Для таких сумм получим
s( f,Dm, X m) = s( f, D¢ m, X m) + s( f,D¢¢ m, X m).
Переходя к пределу в последнем равенстве получим требуемое соотношение.
Теорема (Неравенство Коши-Буняковского)
Для интегрируемых на D функций f и g справедливо неравенство
.
Доказательство.
0£
=
+2
+l2
.
Так как это справедливо для любых
l, то 
-£ 0, откуда
и следует требуемое неравенство.
в окрестности особой
точки 
. Справочный
материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
для любых x(t)