,
Основные операции над тензорами
Обозначения. Мульти индекс.
i=(i1, i2,…, ip), a=(a1, a2,…, aq),
j=(j1, j2,…, jp), b=(b1, b2,…, bq),
p, q – называются порядками мульти индексов. Для больших букв будет использоваться обозначение
,
если малая буква, то будет использоваться обозначение Определители
,
в последнем случае порядки мульти индексов должны совпадать. В этих обозначениях определение тензора (p,q) запишется в виде
.
Мульти индексы складываются по правилу
i+j=(i1, i2,…, ip, j1, j2,…, jp).
Сумма двух тензоров A, B типа (p,q) определяется по формуле
.
В результате операции получается тензор того же типа.
Произведение тензора на число определяется по формуле
.
В результате операции получается тензор того же типа.
Произведение тензора A типа (p,q) на тензор B типа (r,s) определяется по формуле
.
Или в развернутом виде
.
В результате операции получается тензор типа (p+r,q+s). Докажем последнее утверждение. Для исходных тензоров имеем формулы преобразования их координат
,
. Тогда для координат произведения получим
=
=
=
+
.
Множества тензоров
типа (p,q) в евклидовом пространстве Х с введенными таким образом операциями обозначается
.
Операция перестановки местами двух выбранных индексов определяет новый тензор того же типа.
Рассмотрим
эту операцию на примере тензора 
типа (4, 2). Положим
=
, 
=
. Найдем формулы
преобразования координат от к . Имеем
=
=
=
=
.
Поверхностные интегралы Поверхностные интегралы 1-го рода Найти
массу пластинки ( Площадь поверхности, заданной
уравнением z=f(x,y) Будем предполагать, что функция f(x,y)
определена и непрерывна вместе со своими частными производными Найти
площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х 
):
, 
Справочный материал
и примеры к выполнению контрольной работы по математике
, 
в области D. Обозначим эти производные p=, q=. Уравнение касательной плоскости в точке (x,y,z) имеет вид
Z – z = p (X – x) +q(Y – y). Нормаль 
=±(p, q, -1), 
.
Направляющие косинусы нормали равны
|
||