Вычисление двойных интегралов Интегрирование по прямоугольнику.
Рассмотрим прямоугольник D=[a,b]´[c,d]={(x,y)|a £ x £ b, c £ y £ d }.
Теорема. Если f интегрируема
на D и для "x существует 
=J(x), то существует и 
и выполнено равенство
=
=
.
Пусть 
,
, 
. Частные производные
первого порядка функции вводятся соответственно
соотношениям
Записать уравнение
касательной плоскости к поверхности 
в точке 
.
Доказательство. Для заданных разбиений
Dx={a=x0<…<xn=b}, Dy={c=y0<…<ym=d} рассмотрим разбиение
D ={ Dij} области D, где Dij=[xi,xi+1]´ [yj, yj+1], введем обозначения mij=
, Mij=
, X={(xi, hj)},
xiÎ[xi,
xi+1], hjÎ[yj,
yj+1], Dxi=xi+1 – xi, Dyj=yj+1-yj . Тогда будут выполнены неравенства
mij £ f(x,y) £ Mij для (x,y)ÎDij (1)
mij Dyj
£ 
£ Mij Dyj
(2)
£ 
£ 
(3)
Умножая неравенства (3) на Dxi и суммируя, получим
mij Dxi Dyj £ Dxi £
Mij Dxi Dyj .
При l(D)®0
суммы слева и справа (суммы Дарбу) будут сходиться к интегралу , средняя сумма представляет собой интегральную
сумму для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.
Замечание. Аналогичное утверждение получается, если поменять местами x,y.
Если
f интегрируема на D и для "y существует 
=I(y), то существует и 
и выполнено равенство
=
=.
Следствие (перемена порядка интегрирования).
Если f интегрируема на D и для "y
существует 
=I(y), "x существует =J(x), то существуют, и выполнено равенство
==.
в окрестности особой
точки 
. Справочный
материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
для любых x(t)