Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

ЗАДАНИЕ №3

Для решения третьей задачи потребуются следующие понятия о кривых второго порядка: Пусть на плоскости имеется прямоугольная декартова система координат. Как было видно в предыдущей задаче, множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству =0 является линией.

В примере №2 уравнения были линейными( т.е.функция являлась многочленом первой степени), линия- прямой линией; то есть линиями первого порядка являлись прямые линии. В качестве функции может выступать и многочлен второй степени

 

такое уравнение – уравнение линии второго порядка.

ЭЛЛИПС

Если уравнение имеет вид

 

то кривая называется эллипсом (каноническое уравнение эллипса). Точка  -центр эллипса. Точки (±,0),(0, ±) называются вершинами эллипса.

 (<) – расстояние от центра до фокусов

Если ==0, то центр эллипса совпадает с началом координат и точки (-,0) и (,0) –левый и правый фокусы эллипса.

Число  называется эксцентриситетом эллипса.

ГИПЕРБОЛА

Если уравнение имеет вид

 >0, >0

кривая называется гиперболой ( каноническое уравнение гиперболы)

Точка - центр гиперболы, Точки (±,0)-вершины гиперболы, При =0, =0,

Прямые = ± асимптоты гиперболы.

>0. Точки (-,0) и (,0) фокусы гиперболы.

ПАРАБОЛА

Если уравнение имеет вид:

 , где >0, то линия называется параболой ( каноническое 

 уравнение параболы) 

,-координаты вершины параболы; При ==0 (,0 ) - фокус параболы ; прямая

 - директриса параболы.

На плоскости может быть введена не только декартова прямоугольная , но и полярная система координат.

Зададим точку О -полюс, ось Z содержащую точку О и единицу длины оси Z.

Возьмем произвольную точку М плоскости. Её положение на плоскости определяется двумя числами – расстоянием r от О до М (полярный радиус) и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между лучом OM и лучом оси (полярный угол). Если поместить начало координат декартовой прямоугольной системы в полюс, то координаты будут связаны следующим образом.

 

Пример 1. Пусть в задаче №3

 Построим заданную линию по точкам в полярной системе координат. В начале определим область допустимых значений (ОДЗ) независимой переменной φ. По определению полярной системы координат  и .Точке r = 0 соответствует полюс 0.

 По условию задач угол φ может меняться от 0 до 2π. Поэтому наибольшие размеры ОДЗ таковы . При этом r>0 (r0), т.к. числитель соответствующей дроби 4>0. отсюда знаменатель этой дроби также должен удовлетворять неравенству

2-3cos φ > 0 или cos φ < 2/3.

 Решаем последнее неравенство

cos φ = 2/3 0,667;

0,667 +2πk, kN; φ =.

 В промежуток  попадают два значения φ1= и φ2 = -.

 Отсюда для  cos φ<2/3.

 Следовательно допустимые значения φ принадлежат промежутку от 3π/8 до 13π/8, т.е. ОДЗ: .

 Результаты расчетов заносим в таблицу

φ

3π/8

π/2

5π/8

6π/8

7π/8

π

9π/8

10π/8

11π/8

12π/8

13π/8

cosφ

0.38

0

-0.38

-0.71

-0.92

-1

-0.92

-0.71

-0.38

0

0.38

r

4.75

2

1.27

0.97

0.84

0.8

0.84

0.97

1.27

2

4.75

 Строим чертеж ,откладывая на луче , проведенном из полюса О под определенным углом φ, соответствующие значения радиус-вектора r из таблицы

 


 

 Для перехода к системе 0ху воспользуемся формулами. Имеем, следовательно

r (2-3cos φ)=4, 

 

 Определяем ОДЗ для х. Из ОДЗ : для φ >0.

Следовательно 3х+4>0. Отсюда ОДЗ: х>-4/3.

 Возводим правую и левую части равенства в квадрат и выделяем полный квадрат для переменной х:

4х2+4у2=9х2+24х+16;

(5х2+24х)-4у2+16=0;

5(х2+2;

(х+12/5)2-4/5у2-144/25+16/5=0;

(х+12/5)2-4у2/5=64/25

 Окончательно получаем уравнение гиперболы

 х > -

с центром в точке С(-12/5;0), а = 8/5, b = 4/.

 Находим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет. Для этого систему координат 0ху параллельно перенесем в точку . Заменяя переменные

=х+12/5, =у,

получим в новой системе координат  уравнение гиперболы с центром в

Получим координаты фокусов, уравнения асимтот и эксцентриситет гиперболы:

 

 или ,

Переходим в старую систему координат. Имеем:

 .

Следовательно:

F1(x;y)=F1(=F1(-24/5;0);

F2(0;0), у = +

 Совмещаем начало О системы координат Оху с полюсом, отмечаем координаты фокусов F1 и F2, проводим асимптоты и строим пунктиром левую ветвь гиперболы, т.к. точки гиперболы в полуплоскости слева от прямой х=-4/3 не удовлетворяют ОДЗ х>-4/3.

  

Более подробное описание кривых второго порядка смотрите в [1] гл.3; в [2] §24.

В случае если уравнение не подходит под один из перечисленных выше частных случаев линии второго порядка требование задачи «назвать линию» следует опустить.

Решение аналогичных задач можно найти в [3] гл.1 §3.

Решите самостоятельно задачи:

Привести к простейшему виду уравнение

Уравнение асимптот гиперболы и , а расстояние между фокусами . Найти уравнение гиперболы.

Машиностроительное черчение выполнение четежей