Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

 

ЗАДАНИЕ №3

Для решения третьей задачи потребуются следующие понятия о кривых второго порядка: Пусть на плоскости имеется прямоугольная декартова система координат. Как было видно в предыдущей задаче, множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству =0 является линией.

В примере №2 уравнения были линейными( т.е.функция являлась многочленом первой степени), линия- прямой линией; то есть линиями первого порядка являлись прямые линии. В качестве функции может выступать и многочлен второй степени

 

такое уравнение – уравнение линии второго порядка.

ЭЛЛИПС

Если уравнение имеет вид

 

то кривая называется эллипсом (каноническое уравнение эллипса). Точка  -центр эллипса. Точки (±,0),(0, ±) называются вершинами эллипса.

 (<) – расстояние от центра до фокусов

Если ==0, то центр эллипса совпадает с началом координат и точки (-,0) и (,0) –левый и правый фокусы эллипса.

Число  называется эксцентриситетом эллипса.

ГИПЕРБОЛА

Если уравнение имеет вид

 >0, >0

кривая называется гиперболой ( каноническое уравнение гиперболы)

Точка - центр гиперболы, Точки (±,0)-вершины гиперболы, При =0, =0,

Прямые = ± асимптоты гиперболы.

>0. Точки (-,0) и (,0) фокусы гиперболы.

ПАРАБОЛА

Если уравнение имеет вид:

 , где >0, то линия называется параболой ( каноническое 

 уравнение параболы) 

,-координаты вершины параболы; При ==0 (,0 ) - фокус параболы ; прямая

 - директриса параболы.

На плоскости может быть введена не только декартова прямоугольная , но и полярная система координат.

Зададим точку О -полюс, ось Z содержащую точку О и единицу длины оси Z.

Возьмем произвольную точку М плоскости. Её положение на плоскости определяется двумя числами – расстоянием r от О до М (полярный радиус) и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между лучом OM и лучом оси (полярный угол). Если поместить начало координат декартовой прямоугольной системы в полюс, то координаты будут связаны следующим образом.

 

Пример 1. Пусть в задаче №3

 Построим заданную линию по точкам в полярной системе координат. В начале определим область допустимых значений (ОДЗ) независимой переменной φ. По определению полярной системы координат  и .Точке r = 0 соответствует полюс 0.

 По условию задач угол φ может меняться от 0 до 2π. Поэтому наибольшие размеры ОДЗ таковы . При этом r>0 (r0), т.к. числитель соответствующей дроби 4>0. отсюда знаменатель этой дроби также должен удовлетворять неравенству

2-3cos φ > 0 или cos φ < 2/3.

 Решаем последнее неравенство

cos φ = 2/3 0,667;

0,667 +2πk, kN; φ =.

 В промежуток  попадают два значения φ1= и φ2 = -.

 Отсюда для  cos φ<2/3.

 Следовательно допустимые значения φ принадлежат промежутку от 3π/8 до 13π/8, т.е. ОДЗ: .

 Результаты расчетов заносим в таблицу

φ

3π/8

π/2

5π/8

6π/8

7π/8

π

9π/8

10π/8

11π/8

12π/8

13π/8

cosφ

0.38

0

-0.38

-0.71

-0.92

-1

-0.92

-0.71

-0.38

0

0.38

r

4.75

2

1.27

0.97

0.84

0.8

0.84

0.97

1.27

2

4.75

 Строим чертеж ,откладывая на луче , проведенном из полюса О под определенным углом φ, соответствующие значения радиус-вектора r из таблицы

 


 

 Для перехода к системе 0ху воспользуемся формулами. Имеем, следовательно

r (2-3cos φ)=4, 

 

 Определяем ОДЗ для х. Из ОДЗ : для φ >0.

Следовательно 3х+4>0. Отсюда ОДЗ: х>-4/3.

 Возводим правую и левую части равенства в квадрат и выделяем полный квадрат для переменной х:

4х2+4у2=9х2+24х+16;

(5х2+24х)-4у2+16=0;

5(х2+2;

(х+12/5)2-4/5у2-144/25+16/5=0;

(х+12/5)2-4у2/5=64/25

 Окончательно получаем уравнение гиперболы

 х > -

с центром в точке С(-12/5;0), а = 8/5, b = 4/.

 Находим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет. Для этого систему координат 0ху параллельно перенесем в точку . Заменяя переменные

=х+12/5, =у,

получим в новой системе координат  уравнение гиперболы с центром в

Получим координаты фокусов, уравнения асимтот и эксцентриситет гиперболы:

 

 или ,

Переходим в старую систему координат. Имеем:

 .

Следовательно:

F1(x;y)=F1(=F1(-24/5;0);

F2(0;0), у = +

 Совмещаем начало О системы координат Оху с полюсом, отмечаем координаты фокусов F1 и F2, проводим асимптоты и строим пунктиром левую ветвь гиперболы, т.к. точки гиперболы в полуплоскости слева от прямой х=-4/3 не удовлетворяют ОДЗ х>-4/3.

  

Более подробное описание кривых второго порядка смотрите в [1] гл.3; в [2] §24.

В случае если уравнение не подходит под один из перечисленных выше частных случаев линии второго порядка требование задачи «назвать линию» следует опустить.

Решение аналогичных задач можно найти в [3] гл.1 §3.

Решите самостоятельно задачи:

Привести к простейшему виду уравнение

Уравнение асимптот гиперболы и , а расстояние между фокусами . Найти уравнение гиперболы.

Машиностроительное черчение выполнение четежей