Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

ЗАДАНИЕ №4

Для решения задачи № 4 следует иметь понятие о базисе.

Система  из n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом. Векторы  называются линейно независимыми, если равенство 

(линейная комбинация этих векторов равна 0) выполняется только при нулевых значениях коэффициентов – всех  при i=1,2…n.

Если это равенство имеет место при условии, что хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

В n-мерном пространстве линейно независимая система векторов не может содержать более n векторов.

Пусть задана система из n линейных уравнений с n неизвестными

Матрица системы – набор из  чисел-коэффициентов системы, так как число строк матрицы равно числу столбцов матрица называется квадратной.

 

Её определитель (для случая, когда n=3):

-определитель разложен по первой строке. Как определяются определители высших порядков, можно узнать в указанных ниже учебниках или в следующем разделе.

Итак, если определитель системы , то система имеет единственное решение , которое можно найти по формулам Крамера

Где  определитель матрицы системы, а   определитель матрицы, полученной из матрицы системы А заменой i-го столбца на столбец свободных членов .

Пример 1. Решим задачу разложения вектора по базису:

Пусть даны вектора 

 Решение.: Покажем в начале, что векторы и образуют базис. Система векторов образует базис, если эти векторы линейно независимы, а соответствующее векторное уравнение

Обращается в тождество только при λ1=λ2=λ3=0.

 Используя координаты векторов , составим систему линейных уравнений, эквивалентную векторному уравнению

 

 Вычисляем определитель Δ данной системы

 =1(-1)-1(-2)=1.

 Так как Δ 0, то система имеет только нулевое решение (λ1,λ2,λ3) =(0,0,0). Это следует из того факта, что при bi =0 все определители при неизвестных в формулах Крамера равны нулю Δ1 = Δ2 =Δ3 = 0.

 Следовательно, векторы  образуют базис.

 Найдем координаты вектора  в базисе . Четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы, т.е. вектор есть линейная комбинация векторов

.

 Аналогично предыдущему случаю составим систему уравнений для определения координат λ1,λ2,λ3 вектора  в базисе

 

Определитель системы совпадает с определителем системы и не равен нулю Δ=1 0. Следовательно, система имеет единственное решение. По формулам находим λ1,λ2 и λ3

λ1=Δ1/Δ=-2/1=-2, λ2=Δ2/Δ=3/1=3, λ3=Δ3/Δ=-4/1=-4,

 Итак, разложение вектора  по базису  имеет вид:

 Если векторы  заданы в базисе , то в этом базисе вектор  имеет координаты (2;1;3).

 Студенту рекомендуется самостоятельно нарисовать векторы   в пространстве R3 и сравнить полученные значения λi cо значениями, полученными графически.

Следующую задачу решите самостоятельно:

4.1. Решить систему уравнений методом Крамера .

 

 

ЗАДАНИЕ №5

Задача №5 – это задача нахождения обратной матрицы.

Какие операции можно выполнить над матрицами?

Сложение матриц:

Умножение матрицы на число:

Умножение матриц:

Транспонирование матриц: 

То есть элемент матрицы  находящийся в позиции  совпадает с элементом матрицы А, находящимся в позиции . Таким образом строки матрицы А переходят в столбцы , а столбцы– в строки.

Нахождение определителя (для квадратных матриц):

Для нахождения определителя третьего порядка мы пользовались в предыдущих задачах формулой:

,

Т.е. умножили элементы первой строки на определители, которые останутся от исходного определителя третьего порядка, если вычеркнуть этот элемент вместе со своей строкой и столбцом.

Определителем матрицы n-го порядка

 называется число D

Где – элементы первой строки, знак совпадает со знаком

– минор – то есть определитель, матрицы порядка n-1, полученной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Таким образом

  – формула разложения определителя по i-ой строке.

Число  назовем алгебраическим дополнением элемента . И тогда формулу определителя можно написать в виде:

Нахождение обратной матрицы (если ):

, где   – алгебраическое дополнение элемента

Для обратной матрицы

, где Е – единичная матрица

.

Можно построить обратную матрицу методом Жордана. Для этого следует составить расширенную матрицу (А/Е). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразованиям (сложение и умножение на число) с целью получить на месте матрицы А единичную матрицу Е, то на месте матрицы Е получится  – обратная к А.

Машиностроительное черчение выполнение четежей