Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

 

ЗАДАНИЕ №4

Для решения задачи № 4 следует иметь понятие о базисе.

Система  из n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом. Векторы  называются линейно независимыми, если равенство 

(линейная комбинация этих векторов равна 0) выполняется только при нулевых значениях коэффициентов – всех  при i=1,2…n.

Если это равенство имеет место при условии, что хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

В n-мерном пространстве линейно независимая система векторов не может содержать более n векторов.

Пусть задана система из n линейных уравнений с n неизвестными

Матрица системы – набор из  чисел-коэффициентов системы, так как число строк матрицы равно числу столбцов матрица называется квадратной.

 

Её определитель (для случая, когда n=3):

-определитель разложен по первой строке. Как определяются определители высших порядков, можно узнать в указанных ниже учебниках или в следующем разделе.

Итак, если определитель системы , то система имеет единственное решение , которое можно найти по формулам Крамера

Где  определитель матрицы системы, а   определитель матрицы, полученной из матрицы системы А заменой i-го столбца на столбец свободных членов .

Пример 1. Решим задачу разложения вектора по базису:

Пусть даны вектора 

 Решение.: Покажем в начале, что векторы и образуют базис. Система векторов образует базис, если эти векторы линейно независимы, а соответствующее векторное уравнение

Обращается в тождество только при λ1=λ2=λ3=0.

 Используя координаты векторов , составим систему линейных уравнений, эквивалентную векторному уравнению

 

 Вычисляем определитель Δ данной системы

 =1(-1)-1(-2)=1.

 Так как Δ 0, то система имеет только нулевое решение (λ1,λ2,λ3) =(0,0,0). Это следует из того факта, что при bi =0 все определители при неизвестных в формулах Крамера равны нулю Δ1 = Δ2 =Δ3 = 0.

 Следовательно, векторы  образуют базис.

 Найдем координаты вектора  в базисе . Четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы, т.е. вектор есть линейная комбинация векторов

.

 Аналогично предыдущему случаю составим систему уравнений для определения координат λ1,λ2,λ3 вектора  в базисе

 

Определитель системы совпадает с определителем системы и не равен нулю Δ=1 0. Следовательно, система имеет единственное решение. По формулам находим λ1,λ2 и λ3

λ1=Δ1/Δ=-2/1=-2, λ2=Δ2/Δ=3/1=3, λ3=Δ3/Δ=-4/1=-4,

 Итак, разложение вектора  по базису  имеет вид:

 Если векторы  заданы в базисе , то в этом базисе вектор  имеет координаты (2;1;3).

 Студенту рекомендуется самостоятельно нарисовать векторы   в пространстве R3 и сравнить полученные значения λi cо значениями, полученными графически.

Следующую задачу решите самостоятельно:

4.1. Решить систему уравнений методом Крамера .

 

 

ЗАДАНИЕ №5

Задача №5 – это задача нахождения обратной матрицы.

Какие операции можно выполнить над матрицами?

Сложение матриц:

Умножение матрицы на число:

Умножение матриц:

Транспонирование матриц: 

То есть элемент матрицы  находящийся в позиции  совпадает с элементом матрицы А, находящимся в позиции . Таким образом строки матрицы А переходят в столбцы , а столбцы– в строки.

Нахождение определителя (для квадратных матриц):

Для нахождения определителя третьего порядка мы пользовались в предыдущих задачах формулой:

,

Т.е. умножили элементы первой строки на определители, которые останутся от исходного определителя третьего порядка, если вычеркнуть этот элемент вместе со своей строкой и столбцом.

Определителем матрицы n-го порядка

 называется число D

Где – элементы первой строки, знак совпадает со знаком

– минор – то есть определитель, матрицы порядка n-1, полученной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Таким образом

  – формула разложения определителя по i-ой строке.

Число  назовем алгебраическим дополнением элемента . И тогда формулу определителя можно написать в виде:

Нахождение обратной матрицы (если ):

, где   – алгебраическое дополнение элемента

Для обратной матрицы

, где Е – единичная матрица

.

Можно построить обратную матрицу методом Жордана. Для этого следует составить расширенную матрицу (А/Е). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразованиям (сложение и умножение на число) с целью получить на месте матрицы А единичную матрицу Е, то на месте матрицы Е получится  – обратная к А.

Машиностроительное черчение выполнение четежей