Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

ЗАДАНИЕ №6

Задача №6 – задача решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

 Пусть задана система четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными х1,х2,х3,х4 

 Требуется найти решение (х1,х2,х3,х4) этой системы.

 Перед решением системы исследуем её на совместность. По теореме Кронекера – Капелли для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг основной А и расширенной А1

матриц совпадали

r(A)=r(A1).

 Система будет определенной, если ранг совместной системы равен числу неизвестных n

r(A)=n=4

 Если , то первое уравнение системы заменяем на уравнение в котором аi1=1

 По методу Гаусса с помощью эквивалентных преобразований над строками расширенную матрицу А1 системы надо привести к матрице

В которой основная матрица А принимает треугольный вид , т.е. на главной диагонали матрицы А все элементы равны единице, ниже – нулю. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

 В процессе обратного хода из матрицы  находим значения неизвестных хi, начиная с последней x4=b45 и до первой x1=b15

 Одновременно с прямым ходом по методу Гаусса можно определить ранги r(A) и r(A1)

Пример 1. Пусть задана система

Решение: Так как а11=0, I и IV(см. выше) уравнения системы меняем местами и записываем расширенную матрицу полученной системы

 Выполняем последовательно следующие преобразования. В матрице каждый элемент I строки умножаем на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам II строки; затем элементы I строки умножаем на (-1) и складываем с соответствующими элементами III строки. В результате получаем:

 В полученной матрице элементы III строки делим на 3 и затем элементы II строки умножаем на (-1) и складываем с элементами соответственно III и IV строк:

 Элементы III и IV строк нашей матрицы меняем местами; элементы III строки делим на (-1), затем умножаем на (3) и складываем с элементами IV строки

 В этой матрице элементы IV строки делим на (-4)

 Полученной матрице соответствует система:

 Из последнего уравнения системы х4=2; из III уравнения х3=2+х4=2+2=4; из II уравнения х2=18-2х4-2х3= из I уравнения x1=-6+2x2+x4=-6+2·6+2=8

 Итак, решение системы равно (х1,х2,х3,х4)=(8;6;4;2).

 Для избежания ошибок в решении студенту рекомендуется сделать проверку, подставив найденное решение (х1,х2,х3,х4) в каждое уравнение системы.

 Найдем ранги  и

 Таким образом, определитель матрицы  треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

 Поскольку отличный от нуля определитель квадратной матрицы  имеет размерность 4 х 4, то ранг матрицы  равен r(А)=4.

 В матрице вычеркиваем IV столбец и определяем ранг матрицы  в приведенном к треугольному виде:

 Отсюда r()= 4.

 Следовательно система совместна и определена.

6.1 Решите самостоятельно следующую систему.

Машиностроительное черчение выполнение четежей