Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Подземное захоронение жидких РАО

 

ЗАДАНИЕ №6

Задача №6 – задача решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

 Пусть задана система четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными х1,х2,х3,х4 

 Требуется найти решение (х1,х2,х3,х4) этой системы.

 Перед решением системы исследуем её на совместность. По теореме Кронекера – Капелли для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг основной А и расширенной А1

матриц совпадали

r(A)=r(A1).

 Система будет определенной, если ранг совместной системы равен числу неизвестных n

r(A)=n=4

 Если , то первое уравнение системы заменяем на уравнение в котором аi1=1

 По методу Гаусса с помощью эквивалентных преобразований над строками расширенную матрицу А1 системы надо привести к матрице

В которой основная матрица А принимает треугольный вид , т.е. на главной диагонали матрицы А все элементы равны единице, ниже – нулю. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

 В процессе обратного хода из матрицы  находим значения неизвестных хi, начиная с последней x4=b45 и до первой x1=b15

 Одновременно с прямым ходом по методу Гаусса можно определить ранги r(A) и r(A1)

Пример 1. Пусть задана система

Решение: Так как а11=0, I и IV(см. выше) уравнения системы меняем местами и записываем расширенную матрицу полученной системы

 Выполняем последовательно следующие преобразования. В матрице каждый элемент I строки умножаем на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам II строки; затем элементы I строки умножаем на (-1) и складываем с соответствующими элементами III строки. В результате получаем:

 В полученной матрице элементы III строки делим на 3 и затем элементы II строки умножаем на (-1) и складываем с элементами соответственно III и IV строк:

 Элементы III и IV строк нашей матрицы меняем местами; элементы III строки делим на (-1), затем умножаем на (3) и складываем с элементами IV строки

 В этой матрице элементы IV строки делим на (-4)

 Полученной матрице соответствует система:

 Из последнего уравнения системы х4=2; из III уравнения х3=2+х4=2+2=4; из II уравнения х2=18-2х4-2х3= из I уравнения x1=-6+2x2+x4=-6+2·6+2=8

 Итак, решение системы равно (х1,х2,х3,х4)=(8;6;4;2).

 Для избежания ошибок в решении студенту рекомендуется сделать проверку, подставив найденное решение (х1,х2,х3,х4) в каждое уравнение системы.

 Найдем ранги  и

 Таким образом, определитель матрицы  треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

 Поскольку отличный от нуля определитель квадратной матрицы  имеет размерность 4 х 4, то ранг матрицы  равен r(А)=4.

 В матрице вычеркиваем IV столбец и определяем ранг матрицы  в приведенном к треугольному виде:

 Отсюда r()= 4.

 Следовательно система совместна и определена.

6.1 Решите самостоятельно следующую систему.

Машиностроительное черчение выполнение четежей