Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

ЗАДАНИЕ №1.

Для решения контрольной работы №1 по математике и контрольной работы №1 по курсу алгебра и геометрия следует изучить разделы векторной алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии любых учебников. Для решения задач первой контрольной понадобятся следующие понятия и факты:

Для решения первой задачи:

Определители 2 и 3 порядков

 -определитель 2-го порядка

Заметим, что у элемента определителя  -номер строки, а -номер столбца

 -

 - определитель 3 порядка 

 Векторы и действия над ними.

 

В декартовой прямоугольной системе координат вектор  (или ) имеющий начало в точке А(3,4,0) и конец в точке В(5,7,5) имеет следующие координаты

(5-3; 7-4;5-0) или  (2,3,5)

Векторы можно складывать и если =+, где (2,3,5) а  (4,5,6) то (2+4;3+5;5+6) = (6,8,11)

Можно умножить вектор на число, например если (2,3,5) умножить на (-2) получим вектор -2(-4,-6,-10)

Длина (модуль) вектора обозначается  и считается по формуле

 =

для (2,3,5)

 ||=

Итак, мы имеем заданную в пространстве декартову прямоугольную систему координат ,, - единичные векторы (орты) положительных направлений осей И когда мы пишем, что (2,3,5) это означает, что =

Тройку векторов    называют ортонормированным координатным базисом.

2,3,5 - координаты вектора , а

2, 3, 5- компоненты вектора .

Пусть имеем два вектора (2,3,5) и (6,8,11).

 Скалярным произведением вектора  на вектор  называется число (,) = , где угол между и .

В координатной форме

(,) =  - т.е. сумме произведений одноимённых координат

=

Скалярное произведение можно использовать, чтобы найти длину вектора.

Скалярный квадрат

 =

таким образом

==

С помощью скалярного произведения можно найти угол между двумя векторами

= , значит

 =

Векторным произведением  на  называется вектор, обозначаемый  или

и такой, что:

1) длина |[a, b]| = |a|·|b|·sin –т.е. численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и

2)  перпендикулярен плоскости векторов и

3) вектора , , и  составляют правую тройку, т.е. расположены как большой, указательный и средний палец правой руки.

Координатная форма векторного произведения

или (-7,8,-2)

Смешанное произведение трех векторов ,  и  обозначается и равно , то есть векторной произведение на  скалярно умножено на (значит, это число- скаляр)

Численно модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

Координатная форма смешанного произведения

Поскольку в случае компланарности векторов объем соответствующего параллелепипеда равен нулю, то условием компланарности является равенство нулю их смешанного произведения

Машиностроительное черчение выполнение четежей