Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Термическая эффективность парогазовых установок.

 

Плоскость и прямая в пространстве.

Рассмотрим произвольную плоскость и на ней вектор-нормаль , то есть вектор, перпендикулярный плоскости и фиксированную точку .Возьмем текущую точку ,координаты которой меняются так, что точка  остается в плоскости, таким образом вектор  также всегда, при любых движениях точки  лежит в плоскости.

Итак, вектор  лежит в плоскости, а вектор ей перпендикулярен. Тогда их скалярное произведение равно нулю:

, или , где

Это общее уравнение плоскости.

Если , то разделив все члены уравнения на  получим уравнение плоскости в отрезках

.

абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями

Рассмотрим три заданные точки в пространстве ,  и .

Как известно, три точки определяют плоскость. Введём текущую точку , координаты которой меняются, но она не выходит за рамки плоскости. Рассмотри три вектора Все они лежат в плоскости , то есть они компланарны и их смешанное произведение равно нулю.

Это уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Рассмотрим в пространстве прямую. Её можно задать, задав фиксированную точку, через которую она проходит и задав её направление при помощи вектора.

Итак, напишем уравнение прямой, проходящей через заданную точку   и параллельной направляющему вектору . Опять возьмем текущую точку на прямой, т.е. точку, координаты которой меняются так, чтобы она не вышла за пределы этой прямой . Вектор лежит на прямой и, значит, коллинеарен вектору .

Если вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

 - это и есть канонические уравнения прямой в пространстве.

Обозначим отношение 

 за

Это параметрические уравнения прямой.

Более подробно этот материал можно найти в , главы 1 и 2; в  §1,2,5,6,9,10,12,13; в  главы 1,2,3 можно найти похожие задачи.

Пример 1. Задана пирамида с вершинами ,,,.

Зная координаты начала и конца вектора , мы можем найти его координаты:

 или

 Аналогично найдем 

 

1. Теперь найдем угол между ребром  и гранью .

Вообще говоря, найти угол между прямой и плоскостью, а угол  как раз и является углом между прямой  и плоскостью ,- это угол между прямой и её проекцией на плоскость- задача непростая. Угол найти проще, а ведь в сумме они составляют .

Значит, найдя , найдем и =-.

Итак, ищем : это угол между вектором-нормалью к плоскости и вектором .

Отыщем сначала . Какой вектор мы можем выбрать в качестве перпендикуляра к плоскости ? Векторное произведение любых двух векторов, лежащих в плоскости, перпендикулярно плоскости. Возьмем векторное произведение .

==

=

Нас интересует угол между =и .

Скалярное произведение

следовательно

Если , то

- угол между ребром пирамиды и гранью.

Машиностроительное черчение выполнение четежей