Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

ЗАДАНИЕ №22

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

вектор-градиент обозначается grad u или Ñu.

Пример 1. Даны функция трех переменных , вектор  и точка .

Найти: 1) Grad u в точке M0;

 2) производную в точке M0 по направлению вектора ;

  3) наибольшую крутизну поверхности u в точке M0.

Решение: 

1) Вектором градиентом функции трех переменных u(x,y,z) является вектор
grad  (или  в случае двух переменных)

Найдем частные произведения функции u:

Из определения градиента следует, что эти частные производные являются проекциями вектора-градиента на оси координат. Вычислим значения частных производных в точке Mo.

Следовательно вектор-градиент в точке M0 имеет вид:

2) Производная по направлению вектора вычисляется по формуле , то есть равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Так как , то его длина  и, следовательно, единичный вектор, совпадающий по направлению с , , используя формулу скалярного произведения в координатной форме , получим

Итак производная функции u по направлению вектора  равна .

3) Поскольку |grad u| есть наибольшее значение производной  в данной точке P, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из точки P, вдоль которого функция меняется быстрее всего, то направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции u(x,y,z)

|grad u| = .

Решите самостоятельно следующие задачи:

Найти вектор-градиент функции в точке (1,1)

Найти производную функции  в направлении вектора-градиента

Аналогичные задачи можно найти в [3] гл.8

Машиностроительное черчение выполнение четежей